12.7 POTENZE DI FRAZIONI ALGEBRICHE

1. (A) Com’è la potenza di una frazione algebrica?

[Per rispondere bisogna distinguere tra, da una parte, la potenza con esponente intero positivo o nullo e, dall’altra, con esponente intero negativo.]

2. (A) Com’è la potenza di una frazione algebrica con esponente intero positivo?

[È una frazione algebrica che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore. In simboli:

$${\left(\frac{A}{B}\right)}^3=\frac{{\left(A\right)}^3}{{\left(B\right)}^3}$$.

Esempio:

$${\left(\frac{a^2-ab}{5b}\right)}^3=\frac{{(a^2-ab)}^3}{{\left(5b\right)}^3}$$.]

3. (C) Qual è il risultato del seguente elevamento a potenza: ${\left(\frac{2-b}{3}\right)}^2$?

[$\frac{{(2-b)}^2}{9}=\frac{4-4b+b^2}{9}$.]

4. (B) Qual è la potenza di ${\left(\frac{A}{B}\right)}^0$?

[1.

Esempio 1:

$${\left(\frac{a+b}{a-b}\right)}^0=\frac{{(a+b)}^0}{{(a-b)}^0}=1$$.

Esempio 2:

$${\left(\frac{ab-a^2}{a+b}\right)}^0=\frac{{(ab-a^2)}^0}{{(a+b)}^0}=1$$.]

5. (A) Com’è la potenza di una frazione algebrica con esponente intero negativo, tipo ${\left(\frac{A}{B}\right)}^{-n}$?

[È uguale alla potenza della frazione algebrica reciproca con esponente opposto; in simboli:

$${\left(\frac{A}{B}\right)}^{-n}={\left(\frac{B}{A}\right)}^n$$, con $n\in \mathbb{N}-\left\{0\right\}$ (con n appartenente all’insieme dei numeri naturali tranne 0).

Esempio:

$${\left(\frac{a+b^2}{a^{2}b-a}\right)}^{-3}={\left(\frac{a^{2}b-a}{a+b^2}\right)}^3$$.]

6. (C) Qual è la potenza della seguente frazione algebrica ${\left(\frac{1}{a+3}\right)}^{-2}$?

[${(a+3)}^2$. Infatti, ${\left(\frac{1}{a+3}\right)}^{-2}$ diventa ${\left(\frac{a+3}{1}\right)}^2$ che diventa ${(a+3)}^2$.]