13.1 IDENTITÀ

1. (A) In matematica si distinguono due diversi tipi di uguaglianze, quali?

[Le identità e le equazioni.]

2. (A) Che cos’è un’identità in matematica?

[È una uguaglianza tra due espressioni contenenti delle lettere (ed eventualmente anche dei numeri) che è verificata (resa vera) qualunque sia il valore attribuito alle lettere. In breve, un’identità è un’uguaglianza sempre vera.

Esempio 1: a + a = 2a è un’identità perché è vera qualunque sia il numero (0, 1, 2, 3, 4, 22, −2, −53…) che sostituiamo alla a.

Esempio 2: (a + b)² = a² + 2ab + b² è un’identità perché, qualsiasi siano i numeri (0, 1, 2, 3, 4, 22, −2, −53…) sostituiamo alle lettere a e b, l’uguaglianza è vera.]

3. (A) Come si chiamano l’espressione a destra e l’espressione a sinistra dell’uguale in un’identità?

[Primo membro quella sinistra; secondo membro quella destra.

Esempio: di 2(a + b) = 2a + 2b, il primo membro è 2(a + b), il secondo membro è 2a + 2b.]

4. (A) Come si fa a verificare se un’uguaglianza tra due espressioni è un’identità?

[Basta semplificare le espressioni nei due membri dell’uguaglianza: se risultano uguali, allora si tratta di un’identità.

Esempio 1: a + 2a = 4a − a è una identità infatti la somma algebrica di a + 2a è 3a e anche la somma algebrica di 4a − a è 3a.

Esempio 2: 2a(a² − b) + 2ab + 4 = 5a³ − 3a³ − 3 + 7 è un’identità. Per rendersene conto, basta svolgere i calcoli nel primo e nel secondo membro.

Primo membro: 2a(a² − b) + 2ab + 4 = 2a³ − 2ab + 2ab + 4 = 2a³ − 2ab + 2ab + 4 = 2a³ + 4.

Secondo membro: 5a³ − 3a³ − 3 + 7 = 2a³ + 4. Sia nel primo che nel secondo membro si ottiene 2a³ + 4.]

5. (A) Qual è l’insieme numerico in cui è vera un’identità?

[L’insieme ℝ dei numeri reali, meno i valori che, sostituiti alle lettere, rendono un’espressione priva di significato.

Esempio: $\frac{xy}{x}=y$ è un’identità solo se x ≠ 0, perché una frazione con denominatore uguale a zero non ha significato.]

6. (A) Come si chiamano le restrizioni che si pongono all’insieme ℝ dei numeri reali per definire l’insieme in cui un’identità è vera?

[Condizioni di esistenza e si indicano con C.E.]