13.2 EQUAZIONI
1. DEFINIZIONE DI EQUAZIONE
1. (A) Che cos’è un’equazione?
[È un’uguaglianza tra due espressioni algebriche che è resa vera solo da alcuni valori attribuiti alle lettere che vi compaiono.
Esempio: consideriamo 3x = 6, solo attribuendo il valore 2 alla x tale uguaglianza è vera (non lo è invece se al posto della x mettiamo un qualsiasi altro numero; per esempio, se, al posto della x mettiamo 5, l’uguaglianza non è vera: 3 ⋅ 5 ≠ 6). In inglese, “equazione” è equation.]
2. (A) Come si chiamano, rispettivamente, l’espressione a sinistra e l’espressione a destra dell’uguale in un’equazione?
[Primo membro l’espressione che sta a sinistra, secondo membro l’espressione che sta a destra, come nel caso delle identità. Per indicare il primo membro di solito si usa il numero romano I e per indicare il secondo membro il numero romano II. Sinteticamente: I membro = II membro. A volte sono anche detti membro sinistro il primo e membro destro il secondo. In inglese, “primo membro” è left–hand–side; “secondo membro” è right–hand–side.]
3. (A) Come si fa a sapere se un’equazione è vera?
[Bisogna trovare il numero o i numeri che, sostituiti alle variabili (lettere), rendono vera l’uguaglianza tra i due membri dell’equazione.
Esempio: l’equazione 3x = 6 è resa vera solo se attribuiamo a x il valore 2.]
2. INCOGNITE
4. (A) Come si chiamano le variabili (lettere) di un’equazione per le quali bisogna cercare i numeri che, sostituiti ad esse, rendono vera tale equazione stessa?
[Incognite.
Esempio: nell’equazione 3x = 6 l’incognita è la x. In inglese, “incognita” è unknown quantity.]
5. (B) Quante sono le incognite che compaiono in un’equazione?
[Almeno una, ma possono essere anche due o più. Di solito le incognite sono indicate con le ultime lettere dell’alfabeto: x, y, z.
Esempio 1: 5 + x = 7 è un’equazione in una sola incognita: x.
Esempio 2: anche x2 − 2x = x2 è un’equazione in una sola incognita: x.
Esempio 3: invece, x + 2y = 11 è un’equazione in due incognite: x e y.]
6. (C) Quante e quali sono le incognite della seguente equazione: 4x + y3 − 8 = 15 + x?
[Due: x e y.]
3. SOLUZIONI O RADICI
7. (A) Come si chiamano i numeri che, sostituiti all’incognita, rendono vera un’equazione?
[Soluzioni o radici dell’equazione.
Esempio: 2 è la soluzione (o radice) di 5 + x = 7.]
8. (C) Qual è la soluzione (o radice) della seguente equazione: 3x + 2 = 18 − x?
[x = 4. Infatti se a x sostituiamo 4 nel primo membro, otteniamo 14: 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14; se sostituiamo 4 ad x il secondo membro, otteniamo ancora 14: 18 − x = 14.]
9. (B) Come si dice quando un numero è la soluzione (o radice) di un’equazione: tale numero… l’equazione?
[Tale numero soddisfa o verifica (o rende vera) l’equazione.
Esempio: la soluzione (o radice) 2 soddisfa (o verifica) l’equazione 3x = 6; in parole più semplici, il numero 2 rende vera l’equazione 3x = 6.]
10. (B) Quante sono le soluzioni di un’equazione, cioè i valori che verificano l’uguaglianza tra i due membri dell’equazione?
[Possono essere: solo una, alcune, infinite o nessuna (vedi capitolo “Equazioni determinate, indeterminate, impossibili e identità”).]
11. (B) Come si indica l’insieme delle soluzioni di un’equazione?
[Con S.
Esempio: l’insieme delle soluzioni di x2 − x = 2x è S = {2, 3}.]
4. DOMINIO O INSIEME DI DEFINIZIONE
12. (A) Che cos’è il dominio di un’equazione?
[L’insieme dei numeri in cui si cercano le soluzioni dell’equazione.
Esempio: consideriamo l’equazione 6 − x = 8; se il dominio è ℝ, la soluzione è −2; se il dominio è ℤ, la soluzione è ancora −2; se il dominio è ℕ, l’equazione non ha soluzioni.]
13. (A) Come si fa a trovare il dominio di un’equazione?
[Bisogna individuare tutti i valori per i quali almeno uno dei due membri non ha significato; il dominio è costituito da tutti gli altri valori.
Esempio 1: il dominio di 4x = −1 è ℝ perché 4x è un polinomio e un polinomio è definito per ogni x appartenente a ℝ; −1 non presenta l’incognita e quindi è definito per ogni valore di x.
Esempio 2: il dominio di è ℝ − {0} (cioè è l’insieme dei numeri reali tranne lo zero) perché 0 non può stare al denominatore di una frazione.
Esempio 3: il dominio di è {x ∈ ℝ : x ≥ 3}, cioè è costituito da tutti i numeri reali maggiori o uguali a 3 perché, se x è minore di 3, il radicando diventa un numero negativo e la radice quadrata non è definita nell’insieme dei numeri reali.]
14. (A) Com’è anche detto il dominio di un’equazione?
[Insieme di definizione e si indica con la lettera D.]
15. (B) In che relazione sono l’insieme S e il dominio D di un’equazione?
[L’insieme S è un sottoinsieme del dominio D: le soluzioni dell’equazione fanno parte dell’insieme dei numeri in cui sono state cercate.]