13.4 EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI

1. (A) Relativamente alle soluzioni, le equazioni in quali categorie si distinguono?

1. EQUAZIONI DETERMINATE

2. (A) Che cos’è un’equazione determinata?

[Un’equazione che ammette un numero finito di soluzioni.

Esempio 1: la soluzione dell’equazione 5 + x = 8 è una sola: x = 3.

Esempio 2: le soluzioni dell’equazione y = 2x² + 2x − 4 = 2x sono due: x = −2 e x = 1.]

2. EQUAZIONI INDETERMINATE

3. (A) Che cos’è un’equazione indeterminata?

[Un’equazione che ammette infinite soluzioni.

Esempio 1: l’equazione x + x = 2x è sempre vera, qualsiasi numero sostituiamo a x.

Esempio 2: (x + y)² = x² + 2xy + y², qualsiasi numero sostituiamo alle incognite x e y, l’equazione è sempre vera.]

4. (B) Che rapporto c’è tra equazioni indeterminate e identità?

[Tutte le identità sono equazioni indeterminate, ma non tutte le equazioni indeterminate sono identità. In entrambi i casi, però, le soluzioni sono infinite. Un’equazione si dice indeterminata se l’insieme delle soluzioni è infinito, mentre un’equazione è un’identità se è sempre valida, qualunque sia il numero che sostituiamo all’incognita.

Esempio di equazione indeterminata che è anche un’identità: x + x = 2x.

Esempio di equazione indeterminata che non è anche un’identità: |x| = x, è un’equazione indeterminata perché ha infinite soluzioni (x ≥ 0, cioè l’equazione è vera per qualsiasi numero reale positivo o uguale a zero; per esempio: |+3| = +3), ma non è un’identità, perché non vale per qualsiasi numero venga sostituito all’incognita x, cioè non vale per i numeri negativi: |−3| ≠ −3.]

3. EQUAZIONI IMPOSSIBILI

5. (A) Che cos’è un’equazione impossibile?

[È un’equazione che non ha soluzioni.

Esempio 1: x² = −1 non ha soluzione perché il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a zero e quindi non può essere uguale a −1.

Esempio 2: x + 4 = x non ha soluzione perché ogni numero reale sommato a 4 non può essere uguale al numero stesso (è da notare che al posto di 4 poteva essere messo qualsiasi altro numero).]

6. (B) Qual è l’insieme delle soluzioni di un’equazione impossibile?

[L’insieme vuoto: S = ø.]