14.1 DISUGUAGLIANZE NUMERICHE

1. DISUGUAGLIANZE NUMERICHE: CARATTERI GENERALI

1. (A) Quali sono i simboli delle disuguaglianze numeriche? [

2. (A) Come si chiamano, rispettivamente, l’espressione che sta a sinistra e l’espressione che sta destra di un segno di disuguaglianza (<, >, ≤, ≥)?

[Primo membro l’espressione che sta a sinistra del segno di disuguaglianza, secondo membro l’espressione che sta a destra del segno di disuguaglianza; come nel caso delle equazioni.]

3. (A) Come sono dette, rispettivamente, due disuguaglianze con lo stesso simbolo?

[Disuguaglianze dello stesso verso (o senso) o disuguaglianze concordi. Esempi: le disuguaglianze 2 < 8 e 5 < 6 hanno lo stesso verso (o senso); le disuguaglianze 6 > 3 e 7 > 1 hanno lo stesso verso (o senso).]

4. (A) Come sono dette due disuguaglianze che non hanno lo stesso verso?

[Disuguaglianze di verso (o senso) contrario (o opposto) o disuguaglianze discordi. Esempi: le disuguaglianze 4 < 5 e 8 > 6 sono di verso (o senso) contrario (o opposto); le disuguaglianze a ≤ b e a ≥ b sono di verso (o senso) contrario (o opposto).]

5. (B) Come si può scrivere una disuguaglianza equivalente a questa: a < b?

[b > a. Esempio: 3 < 4 è equivalente a 4 > 3. Analogamente, a ≤ b è equivalente a b ≥ a.]

2. PROPRIETÀ DELLE DISUGUAGLIANZE NUMERICHE

6. (A) Che cosa afferma la proprietà delle disuguaglianze numeriche, detta monotonia dell’addizione?

[Se sommiamo a entrambi i membri di una disuguaglianza uno stesso numero, positivo o negativo, otteniamo una disuguaglianza concorde con quella data (cioè con lo stesso verso). Esempio: se ai due membri di −5 < +3 aggiungiamo + 4, otteniamo −1 < +7, che è una disuguaglianza che ha lo stesso verso di quella di partenza.]

7. (A) Che tipo di disuguaglianza si ottiene moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero?

[Se tale numero è positivo, si ottiene una disuguaglianza con lo stesso verso; se tale numero è negativo, si ottiene una disuguaglianza con verso opposto. Esempi: consideriamo la disuguaglianza 4 < 5 e moltiplichiamo entrambi i membri per 2; otteniamo la disuguaglianza 8 < 10, che ha lo stesso verso della precedente. Se, invece, moltiplichiamo entrambi i membri di 4 < 5 per −2, otteniamo una disuguaglianza di verso opposto −8 > −10.]

8. (B) Che cosa succede se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di una disuguaglianza per 0?

[Se si moltiplicano per 0, si ottiene una disuguaglianza non vera; se si dividono per 0, si ottiene una disuguaglianza priva di significato. Esempi: data la disuguaglianza 3 < 5, se moltiplichiamo entrambi i membri per zero, 3 ⋅ 0 < 5 ⋅ 0, otteniamo 0 < 0, che è una disuguaglianza non vera. Se, invece, dividiamo entrambi i membri della disuguaglianza per 0, otteniamo $\frac{3}{0}$ < $\frac{5}{0}$, che è una disuguaglianza priva di significato perché lo 0 non può stare al denominatore.]

9. (B) Che cosa succede se si moltiplicano entrambi i membri di una disuguaglianza numerica, a < b, per −1?

[Otteniamo −a > −b. Se invece moltiplichiamo entrambi i membri di a > b, per −1, otteniamo −a < −b.]

10. (B) Dati due numeri concordi (cioè che hanno lo stesso segno), com’è la disuguaglianza tra i loro reciproci rispetto alla disuguaglianza tra i numeri originari?

[Ha verso contrario (proprietà dei reciproci dei numeri concordi). Esempio 1: 3 < 20 e $\frac{1}{3}$ > $\frac{1}{20}$. Esempio 2: −4 < −2 e $\frac{-1}{4}$ > $\frac{-1}{2}$.]

11. (B) Se eleviamo a potenza, con esponente naturale e diverso da zero, i due membri di una disuguaglianza tra numeri positivi, che cosa otteniamo?

[Una disuguaglianza concorde con quella data. Esempio 1: 5 > 3 quindi 5² > 3². Esempio 2: 4 < 6 quindi 4³ < 6³.]

12. (B) Se eleviamo a potenza, con esponente intero negativo, i due membri di una disuguaglianza tra numeri positivi, che cosa otteniamo?

[Una disuguaglianza discorde da quella data. Esempio 1: 5 > 3 quindi 5⁻² < 3⁻². Esempio 2: 4 < 6 quindi 4⁻³ > 6⁻³.]