13.10 EQUAZIONI LETTERALI

1. DEFINIZIONE DI EQUAZIONE LETTERALE

1. (A) Che cosa sono le equazioni letterali?

[Sono equazioni che contengono altre lettere oltre all’incognita. Esempio: $\frac{2+3x}{a-2}=\frac{5b(a-1)}{3b}$ è un’equazione letterale intera nell’incognita x.]

2. (A) Come sono dette le lettere di un’equazione letterale che non sono l’incognita?

[Parametri. Chi presenta un’equazione letterale deve sempre specificare quale lettera rappresenta l’incognita; le altre lettere di conseguenza sono i parametri. Esempio: la seguente equazione letterale intera nell’incognita x $\frac{2+3x}{a-2}=\frac{5b(a-1)}{3b}$ ha come parametri a e b.]

3. (B) Nell’equazione letterale $2a+x=-3y$ nell’incognita a quali sono i parametri?

[x e y. Attenzione: normalmente con x e y si indicano due incognite, ma se un’equazione presenta queste due lettere e, come nel caso in esame, si specifica che l’incognita è un’altra lettera, in questo caso la a, allora x e y costituiscono due parametri.]

4. (A) Le equazioni letterali sono intere o fratte?

[Possono essere intere o fratte: sono intere quando l’incognita non è al denominatore di nessun termine frazionario, sono fratte quando l’incognita è al denominatore di almeno un termine frazionario. Esempi di equazioni letterali intere: $3ax=5a+2$ nell’incognita x; $\frac{2}{3}x-\frac{5}{a}=\frac{2-a}{x}$ nell’incognita x. Esempi di equazioni letterali fratte: $\frac{2-a}{x}=9a$ nell’incognita x; $2ab-4=\frac{6}{x}$ nell’incognita x.]

2. EQUAZIONI LETTERALI INTERE

5. (A) Che cos’è un’equazione letterale intera?

[È un’equazione che presenta uno o più parametri e in cui l’incognita non si presenta al denominatore di alcun termine frazionario. I parametri, invece, possono presentarsi anche al denominatore. Esempi: $3a-x=2a$; $\frac{4-x}{a-2}=\frac{b(a-b)}{2+b}$.]

6. (A) Come si risolve un’equazione letterale intera?

[Bisogna ridurla nella forma Ax = B attraverso i principi di equivalenza e discutere per quali valori dei parametri l’equazione è determinata, indeterminata o impossibile.]

7. (C) Come diventa l’equazione $3a-x=2a$ nell’incognita x se viene ridotta nella forma Ax = B?

[x = a. Ecco i passaggi: $3a-x=2a\to -x=2a-3a$ (abbiamo applicato la regola del trasporto) → $-x=-a$ (abbiamo sommato algebricamente i termini simili) → $x=a$ (abbiamo applicato la regola del cambiamento di segno).]

8. (C) Come diventa l’equazione $ax+6=0$ nell’incognita x se viene ridotta nella forma Ax = B?

[$ax=-6$; abbiamo applicato la regola del trasporto.]

9. (B) L’equazione $ax=-6$ nell’incognita x, è determinata, indeterminata o impossibile?

[Poiché a non è noto, dobbiamo procedere con la discussione:
a) se a = 0 allora l’equazione diventa 0x = −6 e quindi è impossibile;
b) se a ≠ 0 allora possiamo applicare il secondo principio di equivalenza e l’equazione è determinata e la soluzione è $x=\frac{-6}{a}$.]

10. (C) Perché l’equazione 0x = −6 è impossibile?

[Perché per conoscere il valore di x dovremmo eliminare il coefficiente 0, ma per far ciò dovremmo applicare il secondo principio di equivalenza e dividere entrambi i membri per 0, ma lo 0 non può essere un divisore.]

11. (C) Qual è la soluzione dell’equazione letterale ax − 3ab = 0?

[Applicando la regola del trasporto ax − 3ab = 0 diventa ax = 3ab; discussione:
a) se a = 0, l’equazione è indeterminata perché diventa 0x = 3 ⋅ 0 ⋅ b e quindi 0x = 0: alla x possiamo sostituire qualsiasi numero reale e l’equazione è sempre vera;
b) se a ≠ 0, l’equazione è determinata e la soluzione è S = {3b}; ecco i passaggi: $ax=3ab\to \frac{ax}{a}=\frac{3ab}{a}\to x=\frac{3ab}{a}\to x=3b$.]

12. (C) Come diventa l’equazione letterale intera $\frac{2}{a-3}=\frac{-x-6}{2a}$ portata nella forma Ax = B?

[(a + 3)x = 2(−5a + 9). Vediamo i vari passaggi:

a. $\frac{4a}{2a(a-3)}=\frac{-ax-6a+3x+18}{2a(a-3)}$ (abbiamo portato entrambi i membri a denominatore comune)

b. 4a = −ax − 6a + 3x + 18 (abbiamo moltiplicato entrambi i membri per il denominatore comune)
c. ax − 3x = −4a − 6a + 18 (abbiamo trasportato tutti termini con la x al primo membro, cambiandoli di segno, e abbiamo trasportato tutti termini senza la x al secondo membro, cambiando il segno)
d. ax + 3x = −10a + 18
e. (a + 3)x = 2(−5a+9).]

13. (C) Quali sono le condizioni di verità dell’equazione (a + 3)x = 2(−5a+9)?

[a ≠ −3. Infatti (a + 3), che è il coefficiente dell’incognita, deve essere diverso da zero affinché si possa applicare il secondo principio di equivalenza; se invece fosse uguale a zero, occorrerebbe discutere separatamente il caso.]

14. (C) Qual è il risultato finale dell’equazione $\frac{2}{a-3}=\frac{-x-6}{2a}$ che, portata nella forma Ax = B, diventa (a + 3)x = 2(−5a + 9)?

[ $x=\frac{2(-5a+9)}{a+3}$. A questo risultato si giunge dividendo entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente di x, ovvero per (a + 3). Se a è diversa da −3, l’equazione è determinata; se invece è uguale a −3, l’equazione è impossibile.]

3. EQUAZIONI LETTERALI FRATTE

15. (A) Che cos’è un’equazione letterale fratta?

[È un’equazione che presenta uno o più parametri e in cui l’incognita si presenta al denominatore di almeno un termine frazionario; i parametri possono presentarsi o non presentarsi al denominatore. Esempi: $\frac{a-1}{6x}=2a$ nell’incognita x; $\frac{3+a}{x-3}=\frac{2-3a}{ax}$ nell’incognita x.]

16. (A) Quali condizioni di esistenza bisogna porre per risolvere un’equazione letterale fratta?

[Le condizioni di esistenza dell’incognita e le condizioni di esistenza del parametro se questo si trova al denominatore. Le condizioni di esistenza del parametro in alcuni testi sono chiamate “condizioni di validità” e sono indicate con “C.V.”.]

17. (C) Quali sono le condizioni di esistenza e di validità della seguente equazione letterale fratta nell’incognita x: $\frac{3}{x-2}=\frac{a+1}{a-5}$?

[C.E. dell’incognita: x ≠ 2 (perché il denominatore x − 2 non può essere uguale a zero); C.V. del parametro: a ≠ 5 (perché il denominatore a − 5 non può essere uguale a zero).]

18. (B) Il dominio di un’equazione letterale fratta coincide con le sue condizioni di esistenza, con le sue condizioni di validità o con entrambe?

[Solo con le sue condizioni di esistenza. Esempio: il dominio dell’equazione letterale fratta dell’esempio precedente è ℝ − {2}, cioè coincide con C.E. dell’incognita: x ≠ 2.]