13.9 EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE

1. (A) Che cos’è un’equazione numerica fratta?

[Un’equazione in cui l’incognita è presente al denominatore di almeno una frazione e il coefficiente dell’incognita è un numero e non una lettera.

Esempio 1: $\frac{4}{x}+5=\frac{x-1}{7}$.

Esempio 2: $\frac{6}{5}+5=8-\frac{13}{x}$.]

2. (A) Che cosa bisogna fare prima di cominciare a risolvere una equazione numerica fratta?

[Stabilire le condizioni di esistenza (C.E.) delle frazioni algebriche che contengono l’incognita al denominatore presenti nell’equazione; cioè dobbiamo determinare il dominio dell’equazione.

Esempio 1: se l’equazione fratta è $\frac{3+x}{x-2}=\frac{6}{x}$, le sue condizioni di esistenza sono x ≠ +2 e x ≠ 0, perché altrimenti avremmo un denominatore uguale a 0: con x = 2 avremmo $\frac{3+x}{2-2}=\frac{6}{2}$ che diventa $\frac{3+x}{0}=3$; con x = 0 avremmo: $\frac{3+x}{0-2}=\frac{6}{0}$.

Esempio 2: se l’equazione fratta è $x(2-x)=\frac{3}{x+5}$, la sua condizione di esistenza è x ≠ −5, altrimenti il denominatore di $\frac{3}{x+5}$ sarebbe uguale a 0: $(-5)(2+5)=\frac{3}{-5+5}$ che diventa $-35=\frac{3}{0}$.]

3. (C) Quali sono le condizioni di esistenza della seguente equazione numerica fratta: 5 − x = $\frac{3}{x(x-1)}$?

[C.E.: x ≠ 0 e x ≠ +1; quindi il dominio dell’equazione è ℝ − {0; 1}, cioè il dominio è l’insieme dei numeri reali meno i numeri 0 e 1. Se non venissero rispettate le condizioni di esistenza, il denominatore di $\frac{3}{x(x-1)}$ si annullerebbe (sarebbe uguale a 0): con x = 0 avremmo

$$5-0=\frac{3}{0(0-1)}\to 5=\frac{3}{0(-1)}\to 5=\frac{3}{0}$$; con x = 1 avremmo:

$$5-1=\frac{3}{1(1-1)}\to 4=\frac{3}{1\left(0\right)}\to 4=\frac{3}{0}$$.]

4. (A) Come bisogna procedere per risolvere un’equazione numerica fratta dopo aver determinato le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche che contengono l’incognita al denominatore?

[Bisogna:

a. portare le frazioni algebriche a denominatore comune (cioè mettere al denominatore il mcm);

b. moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per il denominatore comune (mcm) in modo da ottenere un’equazione intera.

Esempio: data l’equazione $\frac{3}{2(x+5)}=\frac{7-4x}{(x+5)(x-5)}$:

a) $\frac{3(x-5)}{2(x+5)(x-5)}=\frac{2(7-4x)}{2(x+5)(x-5)}$ (abbiamo portato le frazioni algebriche a denominatore comune)

b) $2(x+5)(x-5)\frac{3x-15}{2(x+5)(x-5)}=\frac{14-8x}{2(x+5)(x-5)}2(x+5)(x-5)$

(abbiamo moltiplicato entrambi i membri per il denominatore comune): 3x − 15 = 14 − 8x.]

5. (A) Che cosa bisogna fare per risolvere un’equazione numerica fratta dopo aver ottenuto da essa un’equazione intera?

[

a. trasportare tutti i termini con la x al primo membro e tutti i termini numerici al secondo membro;

b. ridurre gli eventuali termini simili

c. eseguire le somme algebriche;

d. calcolare la soluzione dell’equazione intera.

Esempio: riprendiamo l’equazione dell’esempio precedente al punto in cui l’avevamo lasciata: 3x − 15 = 14 − 8x:

a) 3x + 8x = 14 + 15 (abbiamo trasportato − 8x al primo membro e − 15 al secondo membro, cambiando il segno a entrambi);

b) 11x = 29 (abbiamo ridotto i termini simili e sommato i termini numerici;

c) $\frac{11x}{11}=\frac{29}{11}\to x=\frac{29}{11}$ (per eliminare il coefficiente e ottenere la soluzione abbiamo diviso entrambi i membri per 11 applicando il secondo principio di equivalenza).]

6. (A) Una volta che si è calcolata la soluzione di un’equazione fratta ridotta a equazione intera, che cosa rimane da fare?

[Da controllare che tale soluzione soddisfi le condizioni di esistenza (C.E.).

Esempio: riprendiamo l’equazione esaminata nelle domande precedenti: $\frac{3}{2(x+5)}=\frac{7-4x}{(x+5)(x-5)}$; le sue C.E. (condizioni di esistenza) sono: x ≠ −5 e x ≠ 5, quindi la soluzione a cui siamo giunti, ovvero $x=\frac{29}{11}$, è accettabile: appartiene al dominio dell’equazione.]

7. (C) Qual è la soluzione della seguente equazione numerica fratta: $\frac{3+5x}{x-2}=\frac{5x+3}{x}$?

[x = $-\frac{3}{5}$. Ecco i vari passaggi:

a. $\frac{3x+5x^2}{x(x-2)}=\frac{5x^2+3x-10x-6}{x(x-2)}$ (si sono portate le frazioni algebriche a denominatore comune)

b. 3x + 5x² = 5x² + 3x − 10x − 6 (abbiamo ottenuto un’equazione intera moltiplicando entrambi i membri per il denominatore comune)

c. 3x + 5x² − 5x² − 3x + 10x = − 6 (abbiamo trasportato tutti termini con la x al primo membro, cambiandone il segno, e abbiamo lasciato l’unico termine numerico al secondo membro, lasciando il segno che aveva)

d. + 10x = − 6 (abbiamo ridotto i termini simili)

e. $x=-\frac{6}{10}$ (applicando il secondo principio di equivalenza, abbiamo diviso i due membri per 10, cioè per il coefficiente di x)

f. $x=-\frac{3}{5}$ (abbiamo semplificato la frazione $-\frac{6}{10}$ dividendo il numeratore e il denominatore per il loro divisore comune: 2).]

8. (B) Le equazioni fratte possono essere determinate, indeterminate o impossibili come quelle intere?

[Sì, e per stabilire se un’equazione fratta è determinata, indeterminata o impossibile, occorre determinarne le soluzioni e verificare se soddisfano le condizioni di esistenza.]