13.8 EQUAZIONI NUMERICHE INTERE DI PRIMO GRADO

1. DEFINIZIONE

1. (A) Che cosa sono le equazioni numeriche intere?

[Sono equazioni in cui le incognite hanno un coefficiente numerico (e non letterale) e in cui le incognite non si presentano al denominatore.

Esempio: 3x − 4 = −8 + 34.]

2. (B) La seguente equazione è un’equazione numerica intera: $\frac{1}{2}x=3$?

[Sì, perché l’incognita ha un coefficiente numerico e non si presenta al denominatore. Infatti l’aggettivo “intera” dell’espressione equazione numerica intera, si riferisce all’incognita, non al coefficiente, che può essere anche una frazione.]

3. (A) Qual è la forma più semplice in cui si presenta un’equazione numerica intera di primo grado?

[ax = b, dove a e b sono numeri reali e a ≠ 0. Di primo grado significa che l’incognita (la x) ha esponente 1 sottinteso.

Esempio: 4x = 8.]

2. RISOLVERE UN’EQUAZIONE NUMERICA INTERA DI PRIMO GRADO

4. (A) Qual è il primo passo per risolvere un’equazione numerica intera di primo grado?

[Attraverso i principi di equivalenza e le regole del calcolo algebrico, occorre trasformarla in un’equazione ad essa equivalente della forma ax = b, dove a è il coefficiente, x l’incognita e b il termine noto.

Esempio: trasformiamo l’equazione numerica intera di primo grado $\frac{3}{2}x-4+2x=2x$ in un’equazione equivalente della forma ax = b:

$$\frac{3}{2}x-4+2x=2x\to \frac{3}{2}x-4=0$$ (abbiamo applicato la legge della cancellazione) →

$$\frac{3}{2}x=4$$ (abbiamo applicato la regola del trasporto) →

$$2\cdot \frac{3}{2}x=4\cdot 2$$ (applichiamo il secondo principio di equivalenza in modo da eliminare il 2 al denominatore del coefficiente) → 3x = 8.]

5. (A) Una volta che un’equazione numerica intera di primo grado è stata ridotta nella forma ax = b, come si fa a risolverla?

[Se il coefficiente della x è diverso da zero (a ≠ 0), occorre dividere i due membri dell’equazione per esso (ciò è possibile in base al secondo principio di equivalenza), ottenendo: $x=\frac{b}{a}$.

Esempio 1: 5x = 10 → $\frac{5x}{5}=\frac{10}{5}$ → $x=\frac{10}{5}$ → x = 2.

Esempio 2: 7x = 12 → $\frac{7x}{7}=\frac{12}{7}$ → $x=\frac{12}{7}$.]

3. EQUAZIONE DETERMINATA, INDETERMINATA, IMPOSSIBILE

3.1 EQUAZIONE DETERMINATA

6. (A) Quand’è che un’equazione numerica intera nella forma ax = b è determinata?

[Quando a è diverso da zero: a ≠ 0.]

7. (B) Quale forma finale assume un’equazione determinata ax = b?

[ $x=\frac{b}{a}$.

Ovviamente, se al posto delle lettere a e b abbiamo dei numeri, semplificando, $\frac{b}{a}$ può rimanere una frazione o diventare un numero intero.

Esempi: $x=\frac{10}{5}$ diventa x = 2, mentre $x=\frac{12}{7}$ rimane così.]

3.2 EQUAZIONE INDETERMINATA

8. (A) Quand’è che un’equazione numerica intera nella forma ax = b è indeterminata?

[Quando sia a che b sono uguali a zero: a = 0 e b = 0.]

9. (B) Com’è la forma finale di un’equazione numerica intera indeterminata?

[0x = 0.]

10. (B) Che cosa significa che 0x = 0 è un’equazione indeterminata?

[Significa che ha infinite soluzioni, perché qualsiasi numero x dell’insieme ℝ dei numeri reali moltiplicato per 0 è uguale a 0.]

3.3 EQUAZIONE IMPOSSIBILE

11. (A) Quand’è che un’equazione numerica intera nella forma ax = b è impossibile?

[Quando a è uguale a zero e b è diverso da zero: a = 0 e b ≠ 0.]

12. (B) Com’è la forma finale di un’equazione numerica intera impossibile?

[0 ⋅ x = b con b ≠ 0.

Esempio: 0 ⋅ x = 7.]

13. (B) Perché un’equazione della forma 0x = b con b ≠ 0 è impossibile?

[Perché non esiste alcun numero che moltiplicato per 0 dia come risultato un numero diverso da 0.

Esempio: 0 ⋅ x = 7 è impossibile perché non esiste alcun numero che moltiplicato per 0 dia come risultato 7.]