13.7 SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA E SUE APPLICAZIONI

1. SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

1. (A) Che cosa afferma il secondo principio di equivalenza?

[Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero o per un’espressione letterale definita e non nulla, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Esempio 1: consideriamo l’equazione x + 3 = 8, la cui soluzione è x = 5. Moltiplichiamo ciascun membro dell’equazione per un numero diverso da zero, per esempio, 4:

4 ⋅ (x + 3) = 4 ⋅ 8.

Eseguiti i calcoli, si ottiene 4x + 12 = 32, la cui soluzione è la stessa dell’equazione di partenza: x = 5. Avendo la stessa soluzione, l’equazione di partenza e quella ottenuta moltiplicando i due membri per uno stesso numero sono equivalenti.

Esempio 2: anche se proviamo a dividere i due membri dell’equazione di partenza per uno stesso numero diverso da zero, per esempio, per 2, otteniamo un’equazione equivalente a quella iniziale. Impostiamo la divisione:

(x + 3) : 2 = 8 : 2.

Eseguiti i calcoli, otteniamo: $\frac{x+3}{2}=4$. Anche in questo caso la soluzione è x = 5.

Infatti: $\frac{x+3}{2}=4$ diventa $\frac{5+3}{2}=4$, quindi $\frac{8}{2}=4$, che, semplificando, diventa 4 = 4. Quindi l’equazione ottenuta è equivalente a quella di partenza.]

2. (C) Quale paragone viene spesso fatto per spiegare il secondo principio di equivalenza?

[Come nel caso del primo principio di equivalenza, il paragone è quello con una bilancia a due bracci: su un piatto della bilancia mettiamo un peso pari alla quantità espressa dal primo membro dell’equazione e sull’altro piatto della bilancia un peso pari alla quantità espressa dal secondo membro dell’equazione: la bilancia è in equilibrio.]

3. (C) Una volta stabilito che la bilancia sui cui piatti sono appoggiati dei pesi corrispondenti alle quantità indicate dai due membri di un’equazione è in equilibrio, come prosegue il paragone tra la bilancia e il secondo principio di equivalenza?

[La bilancia rimane in equilibrio anche se moltiplichiamo o dividiamo per gli stessi pesi entrambi i piatti di essa.]

4. (B) Che cosa succede se moltiplichiamo ciascun membro di un’equazione per 0?

[Ogni membro assume valore zero e l’equazione ottenuta non è equivalente a quella di partenza.

Esempio: consideriamo l’equazione x + 3 = 8. Moltiplichiamo ciascun membro per zero:

0 ⋅ (x + 3) = 0 ⋅ 8.

Otteniamo 0x + 0 = 0, quindi 0x = 0, che è un’equazione che ha infinite soluzioni perché è vera, qualunque sia il valore che attribuiamo a x. Come impareremo tra poco, 0x = 0 è un’equazione indeterminata.]

5. (B) Che cosa succede se dividiamo ciascun membro di un’equazione per 0?

[È una divisione impossibile, perché qualsiasi divisione per 0 (qualsiasi divisione che abbia 0 come divisore) è impossibile.]

6. (C) Come si fa a eliminare il coefficiente dell’incognita e a conoscere il valore dell’incognita stessa priva di coefficiente, in questa equazione: 3x = −21?

[Si dividono entrambi i membri per il coefficiente dell’incognita, applicando il secondo principio di equivalenza:

$\frac{3x}{3}=\frac{-21}{3}$; poi si semplifica e si ottiene il valore dell’incognita senza coefficiente: x = −7.]

2. REGOLA DEL CAMBIAMENTO DI SEGNO

7. (A) Che cosa afferma la regola del cambiamento di segno delle equazioni?

[Se si cambia il segno a tutti i termini di un’equazione, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Esempio: 3 − x = 8 è equivalente a −3 + x = −8.]

8. (B) Su che cosa si basa la regola del cambiamento di segno?

[Sul secondo principio di equivalenza che afferma che, se si moltiplica ciascun membro di un’equazione per uno stesso numero, si ottiene un’equazione equivalente a quella di partenza.]

9. (B) Per quale numero occorre moltiplicare ciascun membro di un’equazione (per esempio, 3 − x = 8) per ottenere un’equazione equivalente a quella di partenza in cui ciascun termine ha il segno opposto a quello iniziale (−3 + x = −8), in accordo con la regola del cambiamento di segno?

[Per −1: se si moltiplica per −1 ciascun membro dell’equazione 3 − x = 8, si ottiene −3 + x = −8, che è equivalente all’equazione di partenza.]

10. (C) Come diventa l’equazione: −5x − 4 = +30 − x se si applica la regola del cambiamento di segno?

[+5x + 4 = −30 + x.]

3. RICAVARE FORMULE INVERSE CON LE EQUAZIONI

11. (A) In matematica (aritmetica, algebra, geometria…) così come in fisica, per ogni formula diretta ci sono delle corrispondenti formule inverse; come si ottengono le formule inverse a partire dalle formule dirette?

[Applicando i principi di equivalenza. Questa informazione è molto importante perché ci evita lo sforzo di dover memorizzare tutte le formule inverse: basta ricordarsi le formule dirette; quelle inverse si ricavano applicando i principi di equivalenza di volta in volta necessari.

Esempio: la formula diretta per ricavare l’area (A) di un rettangolo, conoscendo la base (b) e l’altezza (h), è A = b ⋅ h. Per ottenere la formula per ricavare la base conoscendo l’area e l’altezza del rettangolo, dobbiamo considerare la base b come l’incognita x: A = b ⋅ h diventa A = x ⋅ h.

Di conseguenza, possiamo considerare l’altezza h come il coefficiente di x e l’area A come il termine noto dell’equazione. Quindi, applicando la regola del trasporto, portiamo l’incognita x con il suo coefficiente h al primo membro e il termine noto A al secondo membro, cambiando il segno: −hx = −A. Poi applichiamo la regola del cambiamento di segno delle equazioni e eliminiamo il segno “−”: hx = A (abbiamo ottenuto l’equazione in forma normale).

Quindi, applicando di nuovo il secondo principio, dividiamo entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente h, in modo da isolare la x:

$\frac{hx}{h}=\frac{A}{h}$ che, semplificando, diventa $x=\frac{A}{h}$. Se al posto di x rimettiamo la b di base, abbiamo la formula inversa di A = b ⋅ h, che ci permette di ricavare la base di un rettangolo conoscendone l’area e l’altezza: $b=\frac{A}{h}$.]

12. (C) Dato che la formula per calcolare l’area di un trapezio, conoscendo la base maggiore (B), la base minore (b) e l’altezza (h) è: $A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$, qual è la formula per ricavare la misura dell’altezza conoscendo le altre dimensioni?

[ $h=\frac{2A}{(B+b)}$. Ecco i passaggi.

La h di altezza diventa l’incognita x: $A=\frac{(B+b)\cdot x}{2}$.

Eliminiamo il denominatore 2, moltiplicando entrambi i membri per 2 (applicazione del secondo principio delle equazioni):

2 ⋅ A = $\frac{(B+b)\cdot x}{2}$ ⋅ 2 che diventa 2A = (B + b) ⋅ x.

Portiamo 2A al secondo membro e (B + b) ⋅ x al primo cambiandone il segno (regola del trasporto): −(B + b) ⋅ x = −2A.

Eliminiamo il segno “−” davanti al coefficiente della x (applicazione della regola del cambiamento di segno): (B + b) ⋅ x = 2A (questa è l’equazione in forma normale).

Dividiamo entrambi i membri per il coefficiente della x (secondo principio di equivalenza):

$\frac{(B+b)x}{(B+b)}=\frac{2A}{(B+b)}$, da cui, semplificando, deriva: $x=\frac{2A}{(B+b)}$.

Sostituiamo la x con la h di altezza: $h=\frac{2A}{(B+b)}$.]