13.6 PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA E SUE APPLICAZIONI

1. EQUAZIONI EQUIVALENTI

1. (A) Quand’è che due equazioni sono equivalenti?

[Quando sono nelle stesse incognite (contengono le stesse incognite) e hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

Esempio 1: le equazioni 3 + x = 5 e 10 + x = 12 sono equivalenti perché hanno lo stesso insieme di soluzioni: S = {2}.

Esempio 2: le equazioni 2x = 12 e 18 − x = 12 sono equivalenti perché hanno lo stesso insieme di soluzioni: S = {6}.]

2. (C) Quali delle seguenti coppie di equazioni sono equivalenti: A: x − 3 = 4 e 2 + x = 5; B: x − 3 = 22 e x + 18 = 22?

[Nessuna delle due. Infatti, nella coppia A, la soluzione di x − 3 = 4 è x = 7, mentre la soluzione di 2 + x = 5 è x = 3; invece, nella coppia B, la soluzione di x − 3 = 22 è x = 25, mentre la soluzione di x + 18 = 22 è x = 4.]

3. (B) Che tipo di relazione è l’equivalenza tra equazioni?

[È una relazione di equivalenza, perché gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.]

4. (B) Che cosa sono i principi di equivalenza?

[Sono delle regole per trasformare un’equazione in altre equazioni ad essa equivalenti.]

2. PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

5. (A) Che cosa afferma il primo principio di equivalenza delle equazioni?

[Se addizioniamo o sottraiamo a entrambi i membri di un’equazione, definita nel dominio D, uno stesso numero o una stessa espressione, che abbia significato in D, otteniamo un’equazione equivalente a quella data.

Esempio: consideriamo l’equazione x + 4 = 9 la cui soluzione è x = 5. Se addizioniamo a entrambi i membri uno stesso numero, per esempio 3, otteniamo un’equazione equivalente alla prima (cioè un’equazione che ha la stessa soluzione della prima equazione): x + 4 + 3 = 9 + 3. Infatti anche x + 7 = 12 ha come soluzione x = 5. Proviamo ora a sottrarre alla nostra equazione iniziale (x + 4 = 9) uno stesso numero, per esempio, 2 (x + 4 − 2 = 9 − 2). Anche in questo caso, otterremo un’equazione (x + 2 = 7) equivalente a quella data. Infatti anche x + 2 = 7 ha come soluzione x = 5.]

6. (C) Quale paragone viene spesso fatto per spiegare il primo principio di equivalenza?

[Quello con una bilancia a due bracci: su un piatto della bilancia mettiamo un peso pari alla quantità espressa dal primo membro dell’equazione e sull’altro piatto della bilancia un peso pari alla quantità espressa dal secondo membro dell’equazione e la bilancia è in equilibrio.]

7. (C) Una volta stabilito che la bilancia sui cui piatti sono appoggiati dei pesi corrispondenti alle quantità indicate dai due membri di un’equazione è in equilibrio, come prosegue il paragone tra la bilancia e il primo principio di equivalenza?

[La bilancia rimane in equilibrio anche se aggiungiamo o sottraiamo gli stessi pesi a entrambi i piatti di essa.]

8. (C) È possibile risolvere un’equazione, come per esempio x + 4 = 9, ricorrendo al primo principio di equivalenza?

[Sì, nel caso dell’equazione in esame basta sottrarre 4 al primo e al secondo membro; quello che rimane è l’incognita e la soluzione: x + 4 − 4 = 9 − 4 diventa x = 5.]

9. (C) Se a entrambi i membri dell’equazione 3x = 6 aggiungiamo 4, otteniamo un’equazione equivalente?

[Sì, perché in entrambi i casi la soluzione è x = 2. Infatti, 3x = 6 è vera se a x sostituiamo 2: 3 ⋅ 2 = 6. Aggiungendo 4 all’equazione iniziale, abbiamo (3x) + 4 = 6 + 4, che, se sostituiamo 2 a x, diventa (3 ⋅ 2) + 4 = 6 + 4, cioè 6 + 4 = 6 + 4.]

10. (B) Se a entrambi i membri dell’equazione 3x = 6 aggiungiamo $\frac{1}{x-2}$, otteniamo un’equazione equivalente a quella data?

[No, perché l’equazione che si ottiene non può avere come soluzione x = 2, in quanto il denominatore di $\frac{1}{x-2}$, svolgendo l’operazione, diventa 0 e quindi tale frazione perde di significato (lo zero non può stare al denominatore). Infatti, se a x, nella frazione $\frac{1}{x-2}$, sostituiamo 2, otteniamo $\frac{1}{2-2}$, cioè $\frac{1}{0}$.]

11. (B) Dal fatto che se aggiungiamo $\frac{1}{x-2}$ a entrambi i membri dell’equazione 3x = 6 non possiamo ottenere un’equazione equivalente, si ricava che il primo principio di equivalenza non può essere applicato quando?

[Quando le espressioni che vengono aggiunte o sottratte ai due membri dell’equazione non soddisfano le condizioni di esistenza dell’equazione.]

12. (A) Quali regole pratiche derivano dal primo principio di equivalenza?

[La regola del trasporto e la legge della cancellazione (o di elisione).]

3. REGOLA DEL TRASPORTO

13. (A) Che cosa afferma la regola del trasporto?

[Data un’equazione, se si trasporta un qualunque termine da un membro all’altro cambiandogli il segno, si ottiene un’equazione equivalente a quella di partenza.

Esempio: se applichiamo la regola del trasporto all’equazione x − 6 = 9, otteniamo l’equazione x = 9 + 6, che è equivalente alla prima; infatti, entrambe hanno come soluzione x = 15.]

14. (C) In base alla regola del trasporto, come diventa l’equazione 5x − 2 = 4x + 1, se si vuole eliminare il termine −2 dal primo membro e il termine 4x dal secondo membro?

[5x − 4x = 1 + 2. Le due equazioni sono equivalenti, infatti in entrambi i casi c’è una sola soluzione ed è x = 3.]

15. (B) La regola del trasporto ci garantisce sempre che l’equazione che si ottiene applicando tale regola è equivalente a quella di partenza?

[Sì, perché la regola del trasporto non è altro che un’applicazione rapida del principio di equivalenza.]

16. (B) Prendendo a modello la seguente equazione 3x = 5x − 8, che, in base alla regola del trasporto, può diventare 3x − 5x = −8, in che senso la regola del trasporto è un’applicazione rapida del principio di equivalenza?

[In base al principio di equivalenza, se sommiamo −5x a entrambi i membri dell’equazione 3x = 5x − 8, otteniamo l’equazione equivalente 3x − 5x = 5x − 8 − 5x, poi, sommando i termini opposti (+5x e −5x), otteniamo: 3x − 5x = −8, cioè la stessa equazione, che in modo più rapido, abbiamo ottenuto con la regola del trasporto.]

17. (C) Come si può trovare la soluzione alla seguente equazione: 5x − 15 = −1 + 3x, applicando la regola del trasporto?

[5x − 15 = −1 + 3x diventa 5x − 3x = −1 + 15 che, svolgendo le somme algebriche, diventa 2x = 14 e, poiché il numero che, moltiplicato per 2, fa 14 è 7, la soluzione è x = 7.]

4. LEGGE DI CANCELLAZIONE (O DI ELISIONE)

18. (A) Che cosa afferma la legge di cancellazione (o di elisione)?

[Se in entrambi i membri di un’equazione sono presenti due termini uguali, essi possono essere eliminati, ottenendo un’equazione equivalente a quella di partenza.

Esempio: 5x − 15 + 4 = −1 + 3x + 4 è equivalente a 5x − 15 = −1 + 3x, dove i due termini uguali +4 che comparivano in entrambi i membri sono stati elisi (cancellati).]

19. (B) Su che cosa si fonda la legge della cancellazione (o elisione)?

[Sul primo principio di equivalenza: ai termini uguali dei due membri dell’equazione si sommano i loro opposti, poi si eliminano sia i termini uguali che i loro opposti; con la legge della cancellazione si salta un passaggio e si eliminano direttamente i due termini uguali.

Esempio: se, per eliminare il termine +4 da entrambi i membri dell’equazione 5x − 15 + 4 = −1 + 3x + 4, si applica il primo principio di equivalenza, otteniamo l’equazione 5x − 15 + 4 − 4 = −1 + 3x + 4 − 4 e successivamente, dopo aver eliminato i termini opposti, si ottiene 5x − 15 = −1 + 3x. Applicando, invece, la legge della cancellazione, si passa direttamente da 5x − 15 + 4 = −1 + 3x + 4 a 5x − 15 = −1 + 3x, saltando un passaggio intermedio.]