14.15 DISEQUAZIONI LETTERALI FRATTE
1. (A) Che cos’è una disequazione letterale fratta (o frazionaria)?
[Una disequazione letterale fratta contiene l’incognita in almeno un denominatore di una frazione e contiene almeno un parametro (lettera che non è l’incognita), non importa se al denominatore o al numeratore. Se l’incognita è solo al numeratore, allora abbiamo una disequazione letterale. La condizione di “frazione” dipende esclusivamente dalla posizione dell’incognita, non dal parametro. Esempio:
a − < 0 nell’incognita x.]
2. (C) Quali delle seguenti disequazioni sono disequazioni letterali fratte:
≥ nell’incognita x; ≤ nell’incognita x; > nell’incognita x?
[La prima e la terza. Invece la seconda è una disequazione letterale ma non una disequazione fratta perché al denominatore c’è il parametro, non l’incognita.]
3. (A) Come si fa a risolvere una disequazione letterale fratta come per esempio
≥ 0?
[Dobbiamo fare lo studio del segno della disequazione ponendo N > 0 e D > 0 e discutendo tre casi: il caso in cui a > 0; il caso in cui a = 0; il caso in cui a < 0. Ricordiamo che N sta per “numeratore” e D per “denominatore”.]
4. (B) Data la disequazione ≥ 0, quand’è che il numeratore della frazione al primo membro è maggiore di zero (N > 0) e il denominatore è maggiore di zero (D > 0) se a > 0?
[Se a > 0:
a) N > 0 quando x > (ecco i passaggi: 5x + a > 0 → 5x > −a → x > );
b) D > 0 quando x > a (ecco i passaggi: x − a > 0 → x > a).]
5. (B) Data la disequazione ≥ 0, qual è lo schema dei segni della frazione al primo membro se a > 0?
6. (B) Quand’è che la disequazione ≥ 0 è verificata nel caso in cui a sia positivo (a > 0)?
[Se a > 0 la disequazione ≥ 0 è verificata per x ≤ ∨ x > a con C.E. x ≠ a. Infatti la disequazione in esame richiede che il primo membro sia positivo o uguale a zero (≥ 0), quindi nello schema dei segni in corrispondenza di dobbiamo andare a cercare dove sono i segni “+” e lo 0.]
7. (B) Data la disequazione ≥ 0, quand’è che il numeratore della frazione al primo membro è maggiore di zero (N > 0) e il denominatore è maggiore di zero (D > 0) se a = 0?
[Se a = 0:
a) N > 0 quando x > 0 (ecco i passaggi: 5x + a > 0 → 5x + 0 > 0 → 5x > 0 → x > → ⋅ 5x > 0 ⋅ → x > 0);
b) D > 0 quando x > 0 (ecco i passaggi: x − a > 0 → x − 0 > 0 → x > 0).]
8. (B) Data la disequazione ≥ 0, qual è lo schema dei segni della frazione al primo membro se a = 0?
9. (B) Quand’è che la disequazione ≥ 0 è verificata nel caso in cui a = 0?
[Se a = 0 la disequazione ≥ 0 è verificata per ogni x non nullo. Infatti se a = 0:
≥ 0 → ≥ 0 → ≥ 0
→ le condizioni di esistenza sono x ≠ 0 perché x si trova al denominatore → si semplifica numeratore con denominatore:
≥ 0 → 5 ≥ 0;
questa condizione è sempre soddisfatta, quindi l’insieme delle soluzioni è dato da tutte le x che soddisfano le condizioni di partenza, cioè x ≠ 0.]
10. (B) Data la disequazione ≥ 0, quali sono il segno del numeratore (N) e il segno del denominatore (D) della frazione al primo membro se a < 0?
[Se a < 0:
a) N > 0 → 5x + a > 0 → 5x > −a → x > ;
b) D > 0 → x − a > 0 → x > a.]
11. (B) Data la disequazione ≥ 0, qual è lo schema dei segni della frazione al primo membro se a < 0?
Attenzione: poiché per ipotesi a < 0, a è un numero negativo mentre è un numero positivo (se per esempio sostituiamo a con −2 otteniamo cioè cioè + ), se ne deduce che è maggiore di a, a dispetto del fatto che apparentemente, ma solo apparentemente, è un numero negativo ed a positivo.]
12. (B) Quand’è che la disequazione ≥ 0 è verificata nel caso in cui a sia negativo (a < 0)?
[Se a < 0 la disequazione ≥ 0 è verificata per x < a ∨ x ≥ con C.E. x ≠ a. Infatti la disequazione in esame richiede che il primo membro sia positivo o uguale a zero (≥ 0), quindi nello schema dei segni in corrispondenza di dobbiamo andare a cercare dove sono i segni “+” e lo 0.]
