14.14 DISEQUAZIONI NUMERICHE FRATTE

1. DISEQUAZIONI FRATTE

1. (A) Che cos’è una disequazione fratta (o frazionaria)?

[È una disequazione in cui l’incognita compare in almeno un denominatore. Come si ricorderà, un’equazione fratta è un’equazione in cui l’incognita compare in almeno un denominatore. Esempio:

$\frac{x-2}{x}$ > 3x + 1.]

2. (C) Quali delle seguenti disequazioni sono fratte (o frazionarie):

$\frac{2x-5}{3}$ < x; $\frac{2x-7}{x}$ > 0; $\frac{5-3}{7x}$ ≤ 0; $\frac{2x-4}{6}$ ≥ 0?

[Solo $\frac{2x-7}{x}$ > 0 e $\frac{5-3}{7x}$ ≤ 0 perché hanno l’incognita al denominatore (la prima anche al numeratore ma è irrilevante), le altre due invece non hanno l’incognita al denominatore quindi non sono disequazioni frazionarie (anche se sono costituite da frazioni che hanno l’incognita al numeratore).]

3. (A) Come si risolve una disequazione fratta?

[Per prima cosa, utilizzando i principi di equivalenza, si trasforma in una equazione equivalente in forma normale.]

4. (A) Qual è la forma normale di una disequazione fratta?

[Una delle seguenti:

a. $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ > 0

b. $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ < 0

c. $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ ≥ 0

d. $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$ ≤ 0.

Dove A(x) e B(x) rappresentano due polinomi nella variabile x. Talvolta il polinomio al numeratore viene indicato con N(x), dove la N richiama l’iniziale di “numeratore”, e il polinomio al denominatore viene indicato con D(x), dove la D richiama l’iniziale di “denominatore”.]

5. (C) Qual è la forma normale della seguente disequazione

$\frac{2x-7}{x-1}$ + 1 > 0?

[ $\frac{3x-8}{x-1}$ > 0; abbiamo ridotto i due termini del primo membro allo stesso denominatore. Ecco come ci si arriva:

$\frac{2x-7}{x-1}$ + 1 > 0 → $\frac{2x-7+x-1}{x-1}$ > 0 → $\frac{3x-8}{x-1}$ > 0.]

6. (A) Una volta che abbiamo ridotto una disequazione fratta in forma normale, come dobbiamo procedere per risolverla?

[Dobbiamo fare lo studio del segno della frazione, cioè determinare per quali valori di x la frazione al primo membro è positiva, nulla o negativa. Quello che non dobbiamo assolutamente fare è moltiplicare entrambi i membri della disequazione per il denominatore della frazione, come nel caso delle equazioni; non si può cioè applicare il secondo principio di equivalenza.]

7. (B) Perché non possiamo moltiplicare entrambi i membri di una disequazione fratta (e ridotta in forma normale) per il denominatore della frazione (in modo da eliminarlo) come nel caso delle equazioni?

[Perché non conoscendo il segno del denominatore (dato che contiene la x), non sappiamo se dobbiamo cambiare il verso della disequazione.]

2. STUDIO DEL SEGNO DI UNA FRAZIONE

8. (A) Come avviene lo studio del segno di una frazione che si trova al primo membro di una disequazione fratta in forma normale?

[

a. Si studia separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore della frazione;

b. si confronta il segno del numeratore con il segno del denominatore della frazione: se sono concordi la frazione è positiva, se sono discordi la frazione è negativa.]

9. (A) Che cosa significa studiare separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore della frazione $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}$?

[Significa cercare per quali valori di x il polinomio A(x) è positivo, per quali è negativo, per quali si annulla, ponendo A(x) > 0; e fare la stessa cosa per il polinomio B(x), ponendo B(x) > 0. Esempio: se la frazione è

$\frac{x-3}{x+5}$,

prima studiamo il segno del polinomio al numeratore, x − 3, poi il segno del polinomio al denominatore, x + 5. Studio del segno del polinomio x − 3: poniamo x − 3 > 0, quindi, per la regola del trasporto, x > +3; se ne deduce che x − 3 è positivo (maggiore di 0) per valori superiori a 3, è negativo per valori inferiori a 3, ed è uguale a 0 se x = 3. Studio del segno del polinomio x + 5: poniamo x + 5 > 0 quindi, per la regola del trasporto, x > −5, se ne deduce che x + 5 è positivo per valori superiori a −5, è negativo per valori inferiori a −5, ed è uguale a 0 se x = −5.]

10. (A) Una volta che abbiamo fatto lo studio dei segni del numeratore e del denominatore, come bisogna procedere?

[Si costruisce una tabella riassuntiva dei segni e si deduce, in base alla regola dei segni della divisione, il segno del loro rapporto, cioè della frazione; da questo schema si deducono le soluzioni della disequazione.

Esempio: cerchiamo le soluzioni di

$\frac{x-3}{x+5}$ < 0

(la frazione è la stessa dell’esempio fatto sopra). Riassumiamo in uno schema il segno dei due polinomi della frazione, quello al numeratore (x − 3) e quello al denominatore (x + 5):

Applicando il principio secondo cui, se i due termini di una divisione sono discordi, il quoziente è negativo, mentre se sono concordi è positivo, deduciamo il segno della frazione:

Che significa che la frazione $\frac{x-3}{x+5}$ è positiva per valori di x superiori a +3, è negativa per valori inferiori a +3, ha valore 0 se x = +3 ed è impossibile se x = −5 (il simbolo che si usa è ∄ che si legge “non esiste” perché ci si riferisce al segno: cioè non esiste il segno della frazione perché la frazione è impossibile).]

11. (B) Perché se il valore di x è −5 la frazione $\frac{x-3}{x+5}$ è impossibile?

[Perché se x = −5 il polinomio x + 5 è uguale a 0, ma poiché tale polinomio nella frazione in esame si trova al denominatore e il denominatore non può mai essere uguale a 0, la frazione è impossibile e quindi non esiste il suo segno (+ o −).]

12. (A) Qual è la soluzione della disequazione $\frac{x-3}{x+5}$ < 0?

[−5 < x < +3, con C.E.: x ≠ −5. Ricordiamo che C.E. sono le condizioni di esistenza; nel caso specifico come abbiamo visto x non può essere uguale a −5, altrimenti il denominatore della frazione sarebbe nullo.]

13. (B) Perché la soluzione della disequazione $\frac{x-3}{x+5}$ < 0 è −5 < x < +3?

[Perché la disequazione in esame richiede che la frazione al primo membro sia inferiore a 0, quindi nella tabella dei segni, andiamo a prendere i segni − della frazione $\frac{x-3}{x+5}$. Nelle tre domande successive esaminiamo i casi in cui la frazione al primo membro è la stessa, ma cambia il segno di disequazione.]

14. (B) Qual è la soluzione della disequazione $\frac{x-3}{x+5}$ > 0?

[x < −5 ∨ x > 3, con C.E.: x ≠ −5. Poiché la disequazione richiede che la frazione $\frac{x-3}{x+5}$ sia maggiore di 0, nella tabella dei segni andiamo a vedere in quali casi la frazione è maggiore di zero e troviamo che lo è soltanto per tutti gli infiniti valori di x superiori a +3.]

15. (B) Qual è la soluzione della disequazione $\frac{x-3}{x+5}$ ≤ 0?

[−5 < x ≤ +3, con C.E.: x ≠ −5. Poiché la disequazione richiede che la frazione $\frac{x-3}{x+5}$ sia minore o uguale a 0, nella tabella dei segni andiamo a vedere in quali casi la frazione è minore o uguale a 0.]

16. (B) Qual è la soluzione della disequazione $\frac{x-3}{x+5}$ ≥ 0?

[x < −5 ∨ x ≥ 3, con C.E.: x ≠ −5. Poiché la disequazione richiede che la frazione $\frac{x-3}{x+5}$ sia maggiore o uguale a 0, nella tabella dei segni andiamo a vedere in quali casi la frazione è maggiore o uguale a 0.]

3. ESEMPI DI RISOLUZIONI DI DISEQUAZIONI NUMERICHE LINEARI FRATTE

PRIMO ESEMPIO

17. (B) Quali sono le soluzioni della disequazione $\frac{x+8}{x-3}$ ≥ 0?

[x ≤ −8 ∨ x > +3, con C.E.: x ≠ +3. Vediamo i passaggi. Studio del segno del numeratore x + 8: x + 8 > 0 → x > −8, quindi x + 8 è positivo per tutti i valori di x superiori a −8, negativo per tutti i valori di x inferiori a −8 e uguale a zero per x = −8. Studio del segno del denominatore x − 3: x − 3 > 0 → x > +3, quindi x − 3 è positivo per tutti i valori di x superiori a +3, negativo per tutti i valori di x inferiori a +3 e uguale a zero per x = +3. Con uno schema del segno calcoliamo il segno della frazione:

Poiché la disequazione richiede che la frazione sia maggiore o uguale a zero, le soluzioni sono quelle indicate sopra, ovvero: x ≤ −8 ∨ x > +3, con C.E.: x ≠ +3. Ricordiamo che il segno ∨ è un segno logico che indica la disgiunzione e possiamo tradurlo con “oppure”.]

SECONDO ESEMPIO

18. (B) Quali sono le soluzioni della disequazione $\frac{6-x}{x-2}$ < 0?

[x < +2 ∨ x > +6, con C.E.: x ≠ +2. Vediamo i passaggi. Studio del segno del numeratore 6 − x: 6 − x > 0 → −x > −6

(attenzione: è “− x > −6”, non “x > −6”, quindi per ottenere il valore di x bisogna moltiplicare entrambi i membri della disequazione per −1 e quindi cambiare il segno a entrambi i membri ma anche invertire il verso della disequazione)

→ x < +6. Quindi 6 − x è positivo quando x < +6, è negativo quando x > +6 ed è uguale a zero quando x = +6. Studio del segno del denominatore x − 2: x − 2 > 0 → x > +2. Quindi x − 2 è positivo per tutti i valori di x superiori a +2, negativo per tutti i valori di x inferiori a +2 ed è uguale a zero per x = +2. Con uno schema del segno calcoliamo il segno della frazione:

Poiché la disequazione in esame richiede che la frazione $\frac{6-x}{x-2}$ sia minore di 0, le soluzioni sono quelle indicate sopra, ovvero: x < +2 ∨ x > +6, con C.E.: x ≠ +2. Ricordiamo che il segno ∨ è un segno logico che indica la disgiunzione e possiamo tradurlo con “oppure”.]