14.13 STUDIO DEL SEGNO DI UN PRODOTTO

1. (B) Come possiamo risolvere una disequazione di secondo grado il cui primo membro si presenta come prodotto di due binomi di primo grado, come per esempio: (x + 5)(2x − 3) < 0?

[Dobbiamo studiare il segno del prodotto (x + 5)(2x − 3) al variare di x.]

2. (B) Come si fa a studiare il segno del prodotto (x + 5)(2x − 3) al variare di x?

[Studiamo il segno dei due fattori considerati singolarmente:

a) x + 5 > 0, applicando la regola del trasporto, diventa x > −5;

b) 2x − 3 > 0, applicando la regola del trasporto, diventa 2x > 3, che a sua volta, applicando il secondo principio delle disequazioni, diventa x > $\frac{3}{2}$.

Attenzione: nello studiare il segno dei fattori si usa sempre “>” anche se la disequazione in esame ha come segno “<” (come nel nostro caso) oppure “≥” oppure “≤”.]

3. (B) Una volta che abbiamo studiato il segno dei fattori del prodotto (x + 5)(2x − 3) considerati singolarmente, come bisogna procedere?

[Rappresentiamo i risultati in uno schema grafico:

Abbiamo scritto 0 dove i binomi si annullano. In corrispondenza del binomio x + 5 abbiamo messo il segno “+” dove x > −5 e il segno “−” dove x < −5; in corrispondenza del binomio 2x − 3 abbiamo messo il segno “+” dove x > $\frac{3}{2}$ e il segno “−” dove x < $\frac{3}{2}$.]

4. (B) Completando lo schema grafico rappresentato sopra, come si presenta il segno del prodotto (x + 5)(2x − 3)?

[Abbiamo applicato la regola dei segni per le moltiplicazioni: quando i segni dei due fattori sono concordi, il segno del prodotto è positivo; quando i segni dei due fattori sono discordi, il segno del prodotto è negativo.]

5. (B) Qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione (x + 5)(2x − 3) < 0 (osserva lo schema grafico)?

[−5 < x < $\frac{3}{2}$ con x = −5 e x = $\frac{3}{2}$ esclusi.]

6. (B) Perché l’insieme delle soluzioni della disequazione (x + 5)(2x − 3) < 0 è −5 < x < $\frac{3}{2}$?

[Perché la disequazione in esame richiede che il prodotto sia negativo (inferiore a zero: < 0), quindi bisogna cercare nello schema grafico che rappresenta il segno del prodotto l’intervallo (o gli intervalli) con segno “−”, che nel caso in esame è compreso fra −5 e $\frac{3}{2}$, con −5 e $\frac{3}{2}$ esclusi perché rappresentano gli zeri del prodotto.]

7. (C) Qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione (x + 5)(2x − 3) ≤ 0?

[−5 ≤ x ≤ $\frac{3}{2}$. A differenza del caso esaminato in precedenza, qui gli zeri del prodotto sono inclusi nell’insieme delle soluzioni della disequazione.]