14.12 DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

1. PRIMO ESEMPIO

1. (B) Qual è il primo passo per risolvere la seguente disequazione: |2x − 4| > 11 − 3x?

[Studiare il segno dell’argomento 2x − 4:

.]

2. (B) Qual è il secondo passo per risolvere la disequazione: |2x − 4| > 11 − 3x?

[Individuare i due sistemi di disequazioni che bisogna risolvere prima di arrivare alla soluzione della disequazione in esame.]

3. (B) Quali sono i due sistemi che bisogna risolvere prima di arrivare alla soluzione della disequazione |2x − 4| > 11 − 3x?

[Primo sistema:

secondo sistema:

.]

4. (B) Quali sono le soluzioni delle prime due disequazioni dei due sistemi, ovvero la soluzione di 2x − 4 ≥ 0 e la soluzione di 2x − 4 < 0?

[La soluzione di 2x − 4 ≥ 0 è x ≥ 2, mentre la soluzione di 2x − 4 < 0 è x < 2. Vediamo i passaggi che portano da 2x − 4 ≥ 0 a x ≥ 2:

2x − 4 ≥ 0 → 2x ≥ +4 → $\frac{2}{2}$x ≥ $\frac{4}{2}$ → x ≥ 2.

Vediamo i passaggi che portano da 2x − 4 < 0 a x < 2:

2x − 4 < 0 → 2x < +4 → $\frac{2}{2}$x < $\frac{4}{2}$ → x < 2.]

5. (B) Qual è la soluzione della seconda disequazione del primo sistema, ovvero di 2x − 4 > 11 − 3x?

[x > 3. Vediamo i passaggi:

2x − 4 > 11 − 3x → 2x + 3x > 11 + 4 → 5x > 15 → x > $\frac{15}{5}$ → x > 3.

Quindi il sistema

è equivalente al sistema

.]

6. (B) Qual è la soluzione del sistema

[x > 3.]

7. (B) Qual è la soluzione della seconda disequazione del secondo sistema, ovvero di −2x + 4 > 11 − 3x?

[x > 7. Vediamo i passaggi:

−2x + 4 > 11 − 3x → −2x + 3x > 11 − 4 → x > +7.

Quindi il sistema

è equivalente al sistema

.]

8. (B) Qual è la soluzione del sistema

[Il sistema è impossibile, perché non esiste alcun numero reale che sia contemporaneamente minore di 2 e maggiore di 7. L’intersezione degli insiemi x < 2 e x > 7 è l’insieme vuoto.]

9. (B) Conoscendo le soluzioni di entrambi i sistemi, come si fa a ottenere le soluzioni della disequazione da cui siamo partiti, ovvero di |2x − 4| > 11 − 3x?

[Dobbiamo fare l’unione delle soluzioni dei due sistemi, cioè l’unione di x > 3 con le soluzioni del secondo sistema che è impossibile.]

10. (B) Unendo le soluzioni dei due sistemi, quali soluzioni si ottengono per la disequazione |2x − 4| > 11 − 3x?

[x > 3.]

2. SECONDO ESEMPIO

11. (B) Qual è il primo passo per risolvere la seguente disequazione: |3 + 2x| > x + 5?

[Studiare il segno dell’argomento 3 + 2x:

.]

12. (B) Quali sono i due sistemi che bisogna risolvere prima di arrivare alla soluzione della disequazione |3 + 2x| > x + 5?

[Primo sistema:

secondo sistema:

.]

13. (B) Qual è la soluzione della seconda disequazione del primo sistema, ovvero di 3 + 2x > x + 5?

[x > 2. Vediamo i passaggi:

3 + 2x > x + 5 → 2x − x > −3 + 5 → x > 2.

Quindi il sistema

equivalente al sistema

.]

14. (B) Qual è la soluzione del sistema

[x > 2.]

15. (B) Qual è la soluzione della seconda disequazione del secondo sistema, ovvero di −3 − 2x > x + 5?

[x < −$\frac{8}{3}$. Vediamo i passaggi:

−3 − 2x > x + 5 → −2x − x > +3 + 5 → −3x > +8 → 3x < −8

(attenzione: è da notare che per cambiare il segno di entrambi i membri della disequazione abbiamo anche invertito il segno di diseguaglianza da > a <)

→ x < −$\frac{8}{3}$.

Quindi il sistema

equivalente al sistema

.]

16. (B) Qual è la soluzione del sistema

[x < −$\frac{8}{3}$.]

17. (B) Qual è la soluzione della disequazione |3 + 2x| > x + 5?

[x < −$\frac{8}{3}$ ∨ x > 2. Tale soluzione è il risultato dell’unione delle soluzioni dei due sistemi che abbiamo esaminato in precedenza.]