14.11 EQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

1. (A) Che cos’è un’equazione con valore assoluto?

[È un’equazione in cui l’incognita compare all’interno di un valore assoluto. Esempio 1: |5x + 3| = 7. Esempio 2: 4 + |3 − $\frac{2}{x}$| = 7x −9. Qui di seguito spieghiamo come si risolvono le equazioni con valore assoluto non in teoria ma direttamente attraverso degli esempi.]

ALCUNI ESEMPI

2. (A) Per quali valori di x l’equazione |x| = 7 è soddisfatta?

[Per x = 7 e x = −7.]

3. (B) Perché l’equazione |x| = 7 è soddisfatta per x = 7 e x = −7?

[Perché, per la definizione di valore assoluto, se x ≥ 0 allora x = 7, se x < 0 allora x = −7.

Attenzione: se x = 0, l’equazione non è soddisfatta.]

4. (A) Per quali valori di x l’equazione |x| = 0 è soddisfatta?

[Per x = 0.]

5. (A) Per quali valori di x l’equazione |x| = −6 è soddisfatta?

[Per nessun valore di x in quanto, l’equazione è impossibile.]

6. (B) Perché l’equazione |x| = −6 è impossibile?

[Perché il valore assoluto di un numero non è mai negativo. Infatti, in base alla definizione di valore assoluto, se x ≥ 0 il valore assoluto di x è positivo o uguale a zero, se x < 0 il valore assoluto di x è −x, ma il − davanti al valore negativo di x lo trasforma in un valore positivo.]

RISOLUZIONE DELL’EQUAZIONE 3x − 2 = |x + 4|

7. (B) Qual è il primo passo per risolvere l’equazione 3x − 2 = |x + 4|?

[Studiare il segno dell’argomento x + 4:

]

8. (B) Da che cosa è data la soluzione dell’equazione 3x − 2 = |x + 4|?

[Dall’unione C delle soluzioni di due sistemi A e B.]

9. (B) Dati due insiemi A e B, quali sono gli elementi dell’insieme C, che è l’unione di A e B (C = A ∪ B)?

[Gli elementi che appartengono ad A o a B, cioè solo ad A, solo a B oppure a entrambi. In logica il simbolo corrispondente all’unione è ∨.]

10. (B) La soluzione dell’equazione 3x − 2 = |x + 4| è data dall’unione di due sistemi, quali?

[Il sistema

(chiamiamolo per comodità “primo sistema”) e il sistema

(chiamiamolo per comodità “secondo sistema”). Nel primo sistema l’argomento del valore assoluto |x + 4| è positivo o uguale a zero; nel secondo sistema invece l’argomento del valore assoluto |x + 4| è negativo.]

11. (C) Come sono chiamati i due sistemi dalla cui unione si ricava la soluzione dell’equazione 3x − 2 = |x + 4|?

[Sistemi misti, perché ciascuno di essi è formato da una disequazione e da un’equazione (e non da due disequazioni o da due equazioni).]

12. (B) Quali sono le soluzioni, rispettivamente del primo e del secondo sistema?

[La soluzione del primo sistema è x = 3; la soluzione del secondo sistema è x = −$\frac{1}{2}$. Vediamo nel dettaglio come si sviluppano i due sistemi. Cominciamo dal primo:

E ora passiamo al secondo:

]

13. (B) La soluzione del primo sistema, x = 3, e la soluzione del secondo sistema, x = −$\frac{1}{2}$, sono entrambe accettabili?

[La soluzione del primo sistema sì, la soluzione del secondo sistema no.]

14. (B) Perché la soluzione x = 3 del primo sistema è accettabile, mentre la soluzione x = −$\frac{1}{2}$ del secondo sistema non lo è?

[La soluzione del primo sistema, x = 3, è accettabile perché è interna all’intervallo x ≥ −4; invece la soluzione del secondo sistema, x = −$\frac{1}{2}$, non è accettabile perché non appartiene all’intervallo x < −4. In altre parole la soluzione dell’equazione del primo sistema è compatibile con la soluzione della disequazione del primo sistema, mentre la soluzione dell’equazione del secondo sistema non è compatibile con la soluzione della disequazione in secondo sistema.]

15. (B) In conclusione, qual è l’insieme soluzione dell’equazione 3x − 2 = |x + 4|?

[S = {3}.]