14.7 DISEQUAZIONI DETERMINATE, SEMPRE VERIFICATE, IMPOSSIBILI

1. (A) Di che tipo possono essere le disequazioni relativamente agli insiemi delle soluzioni?

2. (A) Quand’è che una disequazione, ridotta nella forma più semplice (ax < b o ax > b o ax ≤ b o ax ≥ b), è determinata?

[Quando il coefficiente a è un numero reale diverso da 0: a ≠ 0. In questo caso possiamo dividere entrambi i membri della disequazione per a e ottenere la soluzione della disequazione. Esempio 1: 7x ≤ 14: la soluzione è x ≤ 2. Esempio 2: 4x > 15: la soluzione è x > $\frac{15}{4}$.]

3. (A) Quand’è che una disequazione, ridotta nella forma più semplice (ax < b o ax > b o ax ≤ b o ax ≥ b), è sempre verificata?

[Quando a = 0 e la disuguaglianza che si ottiene è vera. Esempio: 0x < 16 questa disuguaglianza è vera per qualsiasi numero sostituiamo a x, perché qualsiasi numero reale mettiamo al posto di x, otteniamo comunque 0 < 16 che è vera (0 è minore di 16). Per capirlo meglio, basta notare che 0 va moltiplicato per x (0 ⋅ x < 16) e qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0.]

4. (A) Quand’è che una disequazione, ridotta nella forma più semplice (ax < b o ax > b o ax ≤ b o ax ≥ b), è impossibile?

[Quando a = 0 e la disuguaglianza che si ottiene è falsa. Esempio: 0x > 16 questa disuguaglianza è falsa per qualsiasi numero reale sostituiamo a x, perché qualsiasi numero reale mettiamo al posto di x, otteniamo comunque 0 > 16 che è falsa (0 non è maggiore di 16).]

5. (C) Qual è la soluzione di $\frac{x^2+1}{3}$ + $\frac{x^2}{6}$ ≤ $\frac{x-1}{2}$ + $\frac{1}{3}$x²?

[x ≥ +$\frac{4}{3}$, che è una soluzione determinata. Vediamo i vari passaggi:

a. $\frac{x^2+1+x^2}{6}$ ≤ $\frac{3x-3+2x^2}{6}$ (abbiamo ridotto tutte le frazioni al minimo comune denominatore)

b. x² + 1 + x² ≤ 3x − 3 + 2x² (in base al secondo principio di equivalenza delle disequazioni abbiamo eliminato il denominatore moltiplicando per 6 entrambi i membri della disequazione)

c. x² + x² − 3x − 2x² ≤ −3 − 1 (abbiamo trasportato i termini con la x a sinistra e i termini numerici a destra di ≤ cambiandone il segno)

d. −3x ≤ −4 (abbiamo fatto le semplificazioni e le somme algebriche)

e. x ≥ +$\frac{4}{3}$ (abbiamo diviso entrambi i membri per il coefficiente −3, cambiando il verso del segno di disuguaglianza, poiché −3 è un numero negativo e, in base al secondo principio di equivalenza, quando si dividono entrambi i membri di una disequazione per un numero negativo, bisogna cambiare il verso al segno di disequazione).]