14.8 DISEQUAZIONI LETTERALI INTERE

1. (A) Come si fa a risolvere una disequazione letterale intera di primo grado?

[Per prima cosa dobbiamo trasformarla in una disequazione equivalente in forma normale: o Ax B o Ax ≤ B o Ax ≥ B, dove A o B contengono delle lettere che non sono l’incognita, ma parametri. Esempi: kx < k + 3; (a − 1)x > −9; (b + 4)x ≤ 2a −3; ak ≥ a − 2.]

2. (A) Una volta che una disequazione letterale intera di primo grado ha assunto la sua forma normale (o Ax B o Ax ≤ B o Ax ≥ B), come bisogna procedere per risolverla?

[Dobbiamo studiare il segno del coefficiente A di x, cioè distinguere i tre seguenti casi:

il segno di A è positivo (A > 0),
il segno di A è negativo (A < 0),
oppure A è uguale a zero (A = 0).]

3. (A) Prendendo la generica disequazione letterale intera Ax B; Ax ≤ B; Ax ≥ B), qual è la sua soluzione, rispettivamente, se A > 0 e se A < 0?

[

Se A > 0 (cioè A è un numero positivo), Ax < B diventa x < $\frac{B}{A}$ ;
se A < 0 (cioè A è un numero negativo), Ax $\frac{B}{A}$ (si inverte il segno di disequazione: da < a >, per il secondo principio di equivalenza delle disequazioni).

Esempi: prendiamo la disequazione (k − 3)x < 2k + 5: se k > +3 (cioè k − 3 è un numero positivo), allora x <

\frac{2 k + 5}{k - 3}

; se, invece, k < +3 (cioè k − 3 è un numero negativo), allora x >

\frac{2 k + 5}{k - 3}

, cioè si inverte il segno di disequazione: da < a >, perché si sono moltiplicati entrambi i membri della disequazione per un numero negativo.]

4. (A) Qual è la soluzione della disequazione letterale intera Ax B; Ax ≤ B; Ax ≥ B), se A = 0?

[

Se B > 0 (cioè se B è un numero positivo), la disequazione Ax < B è sempre verificata;
se B ≤ 0 (cioè se B è un numero negativo oppure nullo), la disequazione Ax < B non è mai verificata.]

5. (B) Come diventa la disequazione letterale intera k(x − 2) < 3x + 1 se viene ridotta in forma normale?

[(k − 3)x < 2k + 1; tale disequazione è del tipo Ax < B, in cui A = k − 3 e B = 2k + 1. Ecco i passaggi:

k(x − 2) < 3x + 1 → kx − 2k < 3x + 1 → kx − 3x < 2k + 1 → (k − 3)x < 2k + 1.]

6. (B) Qual è la soluzione della disequazione (k − 3)x < 2k + 1?

[Per rispondere bisogna studiare il segno del coefficiente di x ovvero di k − 3 distinguendo i tre casi:

k − 3 > 0 (cioè k > 3);
k − 3 < 0 (cioè k < 3);
k − 3 = 0 (cioè k = 3).]

7. (B) Qual è la soluzione della disequazione (k − 3)x < 2k + 1 se k − 3 > 0?

[x < $\frac{2 k + 1}{k - 3}$ ; poiché il coefficiente dell’incognita x, k − 3, è, per ipotesi, positivo, possiamo dividere sia il primo che il secondo membro della disequazione ottenendo una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso:

(k − 3)x < 2k + 1 → $\frac{(k - 3) x}{k - 3}$ < $\frac{2 k + 1}{k - 3}$ → x < $\frac{2 k + 1}{k - 3}$ .]

8. (B) Qual è la soluzione della disequazione (k − 3)x < 2k + 1 se k − 3 < 0?

[x > $\frac{2 k + 1}{k - 3}$ ; poiché il coefficiente dell’incognita x, k − 3, è, per ipotesi, negativo, possiamo dividere sia il primo che il secondo membro della disequazione ottenendo una disequazione equivalente a quella data ma di verso opposto:

(k − 3)x < 2k + 1 → $\frac{(k - 3) x}{k - 3}$ < $\frac{2 k + 1}{k - 3}$ → x > $\frac{2 k + 1}{k - 3}$ .]

9. (B) Qual è la soluzione della disequazione (k − 3)x < 2k + 1 se k − 3 = 0?

[0 ⋅ x < 7, la disequazione è sempre verificata: qualsiasi numero reale sostituiamo a x, otteniamo sempre 0 < 7 che è sempre vera. Vediamo meglio: se k − 3 = 0 allora significa che k = 3, sostituendo k con 3 abbiamo i passaggi:

(k − 3)x < 2k + 1 → (3 − 3)x < 2 ⋅ 3 + 1 → (0)x < 6 + 1 → 0 ⋅ x < 7.]

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