2.1 SISTEMI DI NUMERAZIONE ADDITIVI E POSIZIONALI
In questo capitolo vengono ripresi e approfonditi alcuni dei temi trattati nella lezione “Sistemi di numerazione” di Aritmetica I.
1. TIPI DI SISTEMI DI NUMERAZIONE
1. (A) Che cos’è un sistema di numerazione?
[È un procedimento per attribuire un nome a ciascun numero naturale. Esempi di sistemi di numerazione: il sistema decimale, il sistema binario, il sistema di numerazione romano…]
2. (A) In generale, che cosa hanno in comune e in che cosa si differenziano i vari sistemi di numerazione?
[Ogni sistema di numerazione è costituito da un alfabeto, cioè da un insieme di simboli, e da delle regole per combinare questi simboli tra loro; ogni sistema di numerazione ha il suo alfabeto e le sue regole diverse da quelle degli altri sistemi di numerazione. Esempi relativi ai simboli: i simboli del sistema decimale sono 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; i simboli del sistema binario sono solo 0 e 1; i simboli del sistema romano sono I; V; X; L; C; D; M.]
3. (A) I sistemi di numerazione si dividono in due tipi, quali? [
- a) I sistemi di numerazione additivi;
- b) i sistemi di numerazione posizionali.]
2. SISTEMI DI NUMERAZIONE ADDITIVI
4. (A) Che cos’è un sistema di numerazione additivo?
[Un sistema di numerazione in cui ad ogni simbolo viene attribuito sempre lo stesso valore, cioè lo stesso numero, indipendentemente dalla posizione che occupa all’interno della rappresentazione numerica. Esempio: se il simbolo X, sta per il numero 10 (come nel sistema numerico romano), esso sta per tale numero indipendentemente dalla posizione che occupa rispetto ad altri segni numerici che compaiono nella stessa rappresentazione numerica, per esempio, indipendentemente dal fatto che si trovi a destra o a sinistra del segno I (che nel sistema numerico romano sta per 1): in XI e IX, il simbolo X vale sempre 10.]
5. (C) Qual è il sistema di numerazione additivo più rudimentale?
[Quello in cui ogni numero è rappresentato da un certo numero di tacche: | sta per il numero 1; || sta per il numero 2; ||| sta per il numero 3; |||| sta per il numero 4…]
6. (A) Che tipo di sistema numerico è quello romano?
[Un sistema numerico additivo-sottrattivo.]
7. (B) Che cosa significa che il sistema numerico romano è additivo-sottrattivo?
[Significa che ogni simbolo rappresenta sempre lo stesso valore numerico (X rappresenta sempre 10), indipendentemente dalla posizione che occupa, ma il valore rappresentato da più simboli accostati l’uno all’altro (per esempio, VIII), si ottiene sommando o sottraendo, secondo certe regole, i valori corrispondenti ai simboli che compaiono in tale rappresentazione numerica. Esempi: nel sistema numerico romano V è sempre il simbolo del numero 5, ma, se è preceduto da I (simbolo del numero 1), ovvero se si presenta nella forma “IV”, l’intera rappresentazione sta per il numero 4, perché al valore 5 va sottratto il valore 1. Se, invece, lo stesso simbolo V è seguito dal simbolo I, ovvero se si presenta nella forma “VI”, l’intera rappresentazione sta per il numero 6, perché al valore 5 va aggiunto il valore 1.]
3. SISTEMI DI NUMERAZIONE POSIZIONALI
8. (A) Che cos’è un sistema di numerazione posizionale?
[Un sistema di numerazione in cui uno stesso simbolo assume valori diversi a seconda della posizione che occupa all’interno della rappresentazione numerica. Esempio: il segno “3” sta per il numero 3 quando è da solo oppure quando è nella posizione più a destra nella rappresentazione numerica, come in 53 o in 1073. Ma lo stesso segno “3” sta per 30 se si trova nella seconda posizione a partire da destra nella rappresentazione numerica, come in 32 o 38 o 230… E lo stesso segno “3” sta per 300 se si trova nella terza posizione a partire da destra verso sinistra nella rappresentazione numerica, come in 326 o 382 o 1304 o 885324…]
9. (A) Come sono chiamati i simboli di un sistema di numerazione posizionale?
[Cifre. Quelle del sistema numerico decimale sono chiamate cifre arabe e sono 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.]
10. (C) Che cosa rappresentano le cifre del numero 8324?
[8 sta per 8.000; 3 sta per 300; 2 sta per 20; 4 sta per 4.]
11. (A) Che cos’è la base di un sistema di numerazione posizionale?
[È il numero di cifre di tale sistema di numerazione, cioè il numero di simboli usati per rappresentare i numeri. Se le cifre sono 10, come nel sistema numerico decimale, la base è 10; se le cifre sono 2, come nel sistema binario, la base è 2…]