2.14 INSERIMENTO DI MEDI GEOMETRICI TRA DUE NUMERI

1. (A) Dati due numeri positivi a e b (con a < b), come si fa a inserire tra di essi altri k numeri positivi, in modo da ottenere una progressione geometrica costituita da k + 2 termini, con a e b come estremi?[

1. Si ricava la ragione q attraverso la formula: $q=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}$;
2. poi per ottenere il secondo termine (x₁) si moltiplica il primo termine (a) per q, per ottenere il terzo termine si moltiplica il secondo termine (x₁) per q, ecc.]

2. (B) Da dove deriva la formula $q=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}$ per ricavare la ragione di una progressione geometrica che ha come estremi a e b e tra di essi altri k termini?

[Deriva dalla formula $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Infatti da $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ possiamo ricavare la formula per ottenere q:

Nella progressione geometrica dove gli estremi sono a e b e in mezzo ci sono k termini, a₁ corrisponde ad a e a_n corrisponde a b, e i termini sono in totale k + 2, quindi n − 1 corrisponde a (k + 2) − 1, cioè a k + 1. Pertanto facendo le dovute sostituzioni, da $q=\sqrt[n-1]{\frac{a_n}{a_1}}$ otteniamo $q=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}$.]

3. (B) Dati i numeri 8 e 256, come si fa a inserire tra di essi quattro numeri in modo tale da ottenere una progressione geometrica in cui 8 e 256 siano gli estremi?[

1. Si applica la formula $q=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}$: $q=\sqrt[4+1]{\frac{256}{8}}=q=\sqrt[5]{\frac{256}{8}}=\sqrt[5]{32}=2$;
2. Poi per ottenere i k termini tra 8 e 256, si adotta il metodo ricorsivo: si moltiplica il primo termine per 2, e si ottiene il secondo termine, poi si moltiplica il secondo termine per 2 e si ottiene il terzo termine… Alla fine si ottiene la progressione: 8, 16, 32, 64, 128, 256.]

4. (A) Quale formula si deve adottare per ottenere un numero c che se viene inserito tra due numeri a e b forma con essi una progressione geometrica (a, c, b)?

[$c=\sqrt{a\cdot b}$. Esempio: dati i numeri 2 e 32, il numero che inserito tra di essi forma con essi una progressione geometrica si ottiene così: $\sqrt{2\cdot 32}=\sqrt{64}=8$. Che 2, 8, 32 formino una progressione geometrica lo si può constatare così: $\frac{8}{2}=\frac{32}{8}=4$, cioè tra un termine e il suo precedente c’è un rapporto costante: 4 che è la ragione di tale progressione geometrica.]

5. (B) Perché la formula per ottenere un numero c che se viene inserito tra due numeri a e b forma con essi una progressione geometrica è $c=\sqrt{a\cdot b}$?

[Poiché tra i numeri a e b viene inserito un solo numero, la formula generale $q=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}$ diventa $q=\sqrt[1+1]{\frac{b}{a}}$ cioè $q=\sqrt{\frac{b}{a}}$, e siccome c si ottiene moltiplicando il precedente (a) per q, abbiamo: $c=a\cdot \sqrt{\frac{b}{a}}$ che, semplificando, diventa $c=\sqrt{a\cdot b}$. Ecco i passaggi: $c=a\cdot q=a\cdot \sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{a^2\cdot \frac{b}{a}}$ (abbiamo trasportato il fattore a dentro il segno di radice mettendogli come esponente l’indice della radice stessa) = $c=\sqrt{a\cdot b}$.]