2.16 SOMMA DI TERMINI CONSECUTIVI DI UNA PROGRESSIONE GEOMETRICA

1. (A) Qual è la formula della somma S_n dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione q diversa da 1?

[ $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ . In alcuni manuali si preferisce la formula $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , ma il risultato non cambia. Esempio: data la progressione geometrica 4, 12, 36, 108, 324, 972… di ragione 3, vogliamo determinare la somma dei primi sei termini. Applichiamo la formula $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ :

S_{6} = 4 \cdot \frac{3^{6} - 1}{3 - 1}

S_{6} = 4 \cdot \frac{729 - 1}{3 - 1}

S_{6} = 4 \cdot \frac{728}{2}

S_{6} = 2 \cdot 728

S_{6} = 1456

2. (B) Per dimostrare che la formula della somma S_n dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione q diversa da 1 è $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ , dobbiamo riscrivere la somma S_n = a₁ + a₂ + a₃ +… + a_n in un altro modo, quale?

[ $S_{n} = a_{1} + a_{1} \cdot q + a_{1} \cdot q^{2} + a_{1} \cdot q^{3} + \dots + a_{1} \cdot q^{n - 1}$ . Questo è possibile in base alla formula, che già conosciamo, per determinare un termine a_n qualsiasi: $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ . Vediamo più in dettaglio: a₂ è a₁ · q; a₃ è a₁ · q · q cioè a₁ · q²; a₄ è a₁ · q · q · q cioè a₁ · q³; … Quindi nella uguaglianza S_n = a₁ + a₂ + a₃ +… + a_n sostituiamo a₂ con a₁ · q, a₃ con a₁ · q², a₄ con a₁ · q³,…]

3. (B) Una volta che abbiamo ottenuto l’uguaglianza $S_{n} = a_{1} + a_{1} \cdot q + a_{1} \cdot q^{2} + a_{1} \cdot q^{3} + \dots + a_{1} \cdot q^{n - 1}$ , come si procede?

[Si moltiplicano entrambi i membri per la ragione q (applicazione del secondo principio di equivalenza) e si ottiene: $S_{n} \cdot q = a_{1} \cdot q + a_{1} \cdot q^{2} + a_{1} \cdot q^{3} + a_{1} \cdot q^{4} + \dots + a_{1} \cdot q^{n}$ .]

4. (B) Una volta che dall’uguaglianza S_n = a₁ + a₁ · q + a₁ · q² + a₁ · q³ +… + a₁ · qⁿ⁻¹ abbiamo ottenuto l’uguaglianza equivalente: S_n · q = a₁ · q + a₁ · q² + a₁ · q³ + a₁ · q⁴ +… + a₁ · qⁿ, come si procede?

[Eseguiamo la sottrazione membro a membro della prima uguaglianza dalla seconda e otteniamo: $S_{n} \cdot q - S_{n} = a_{1} \cdot q + a_{1} \cdot q^{2} + a_{1} \cdot q^{3} + a_{1} \cdot q^{4} + \dots + a_{1} \cdot q^{n} - a_{1} - a_{1} \cdot q - a_{1} \cdot q^{2} - a_{1} \cdot q^{3} - a_{1} \cdot q^{4} - \dots - a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .]

Schema della progressione geometrica per la dimostrazione della somma dei termini

5. (B) Una volta che abbiamo impostato la seguente equazione S_n · q − S_n = a₁ · q + a₁ · q² + a₁ · q³ + a₁ · q⁴ +… + a₁ · qⁿ − a₁ − a₁ · q − a₁ · q² − a₁ · q³ − a₁ · q⁴ −… − a₁ · qⁿ⁻¹, come dobbiamo procedere?

[Eliminiamo i termini opposti e otteniamo: $S_{n} \cdot q - S_{n} = a_{1} \cdot q^{n} - a_{1}$ .]

6. (B) Una volta ottenuta l’uguaglianza S_n · q − S_n = a₁ · qⁿ − a₁, come dobbiamo procedere?

[Raccogliamo a fattore comune sia il primo membro che il secondo membro dell’uguaglianza: $S_{n} (q - 1) = a_{1} (q^{n} - 1)$ .]

7. (B) Una volta ottenuta l’uguaglianza S_n(q − 1) = a₁(qⁿ − 1), come dobbiamo procedere?

[Per sapere a che cosa è uguale S_n, cioè la somma di n termini della nostra progressione, dividiamo entrambi i membri per q − 1 (la cosa è fattibile perché per ipotesi q ≠ 1, e quindi q − 1 è un denominatore diverso da 0): $S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ . Abbiamo ottenuto la formula per determinare la somma di n termini di una progressione geometrica di ragione q diversa da 1, come volevamo dimostrare.]

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