3.1 POTENZE CON ESPONENTE INTERO E CON ESPONENTE RAZIONALE

Abbiamo già affrontato il tema delle potenze: nel capitolo “Potenze e loro proprietà in N” della lezione “Numeri naturali” di Algebra I; nel capitolo “Potenze in Z” della lezione “Insieme Z” di Algebra I; nel capitolo “Potenze in Q e potenze con esponente negativo” della lezione “Numeri razionali e reali” di Algebra I; nel capitolo “Potenze con esponente razionale” della lezione “Operazioni con i radicali” di Algebra II

1. POTENZE CON ESPONENTE INTERO

1. (A) Se l’esponente di una potenza è 0 (a⁰), la potenza è definita?

[Sì, per ogni a ∈ ℝ, tranne che per a = 0 (cioè 0⁰ non è definito).]

2. (A) Qual è la potenza a⁰ con a ≠ 0?

[È sempre 1. Esempi: 1⁰ = 1; 2⁰ = 1; 3⁰ = 1; –1⁰ = 1; –2⁰ = 1; ${\left(\frac{1}{2}\right)}^0$ = 1; ${\left(-\frac{7}{2}\right)}^0$ = 1; ${\left(\sqrt{5}\right)}^0$ = 1. Invece 0⁰ non è definito, come abbiamo visto nella precedente domanda.]

3. (A) Se l’esponente di una potenza è 1 (a¹), la potenza è definita?

[Sì, a¹ = a per ogni a ∈ ℝ. Esempi: 3¹ = 3; 8¹ = 8; 100¹ = 100; –4¹ = –4; ${\left(\frac{13}{4}\right)}^1$ = $\frac{13}{4}$; ${\left(-\frac{3}{5}\right)}^1$ = $-\frac{3}{5}$.]

4. (A) Se l’esponente di una potenza è un intero positivo (a^x con x > 0), la potenza è definita?

[Sì, per ogni a ∈ ℝ. Esempi: 2³ = 8; 4² = 16; 3³ = 27; –3² = 9; –3³ = –27; ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ = $\frac{1}{8}$; ${\left(-\frac{6}{5}\right)}^2$ = $\frac{36}{25}$; ${\left(\sqrt{5}\right)}^2$ = 5.]

5. (B) Se l’esponente di una potenza è un intero negativo (a^x con x < 0), la potenza è definita?

[Sì, per ogni a ∈ ℝ, tranne che per a = 0. Esempio 1: 2^–4 = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$= $\frac{1}{16}$. Esempio 2: 3^–3 = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^3$= $\frac{1}{27}$. Esempio 3: ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}$= ${\left(\frac{5}{2}\right)}^2$= $\frac{25}{4}$. Controesempi: invece 0^–2; 0^–3; 0^–4… non sono definite.]

6. (C) Perché, se l’esponente x di una potenza è un intero negativo, la base a non può essere 0, altrimenti la potenza non è definita?

[Perché, poiché elevare ad un numero negativo significa fare il reciproco, dovremmo dividere per 0, ma la divisione per 0 è impossibile. Esempio: 0^–3 sarebbe ${\left(\frac{1}{0}\right)}^3$ ma $\frac{1}{0}$ è impossibile perché è una divisione con denominatore 0.]

2. POTENZE CON ESPONENTE RAZIONALE

7. (A) Qual è la potenza con esponente razionale positivo $\frac{𝐦}{𝐧}$ di un numero reale a: ${𝐚}^{\frac{𝐦}{𝐧}}$?

[È la radice n–esima di $a^m$: $\sqrt[𝐧]{{𝐚}^{𝐦}}$, se a ≥ 0. Esempio 1: $3^{\frac{2}{5}}$ = $\sqrt[5]{3^2}$ = $\sqrt[5]{9}$. Esempio 2: $2^{\frac{4}{3}}$ = $\sqrt[3]{2^4}$ = $\sqrt[3]{16}$. Esempio 3: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{3}{2}}$ = $\sqrt[2]{{\left(\frac{1}{4}\right)}^3}$ = $\sqrt[2]{\frac{1}{64}}$. Esempio 4: $0^{\frac{3}{8}}$ = $\sqrt[8]{0^3}$ = 0. Controesempi: invece le potenze ${-3}^{\frac{2}{5}}$; ${\left(-\frac{3}{4}\right)}^{\frac{7}{2}}$ non esistono.]

8. (A) Qual è la potenza con esponente razionale negativo $-\frac{𝐦}{𝐧}$ di un numero reale a: ${𝐚}^{-\frac{𝐦}{𝐧}}$?

[È la potenza con esponente $\frac{m}{n}$ di $\frac{1}{a}$: ${𝐚}^{-\frac{𝐦}{𝐧}}$ = ${\left(\frac{\mathrm{𝟏}}{𝐚}\right)}^{\frac{𝐦}{𝐧}}$, se a > 0. Esempio 1: $3^{-\frac{2}{5}}$ = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\frac{2}{5}}$ = $\sqrt[5]{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}$ = $\sqrt[5]{\frac{1}{9}}$. Esempio 2: ${\left(\frac{5}{4}\right)}^{-\frac{3}{2}}$ = ${\left(\frac{4}{5}\right)}^{\frac{3}{2}}$ = $\sqrt[2]{{\left(\frac{4}{5}\right)}^3}$ = $\sqrt[2]{\frac{64}{125}}$. Esempio 3: ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{3}{2}}$ = $4^{\frac{3}{2}}$ = $\sqrt[2]{4^3}$ = $\sqrt[2]{64}$ = 8. Controesempi: invece le potenze $0^{-\frac{3}{5}}$; ${-3}^{-\frac{6}{7}}$; ${\left(-\frac{3}{4}\right)}^{-\frac{11}{2}}$ non esistono perché la base è minore o uguale a zero.]