3.2 POTENZE CON ESPONENTE IRRAZIONALE

Abbiamo già affrontato in parte il tema dei numeri irrazionali nel capitolo “Numeri irrazionali e reali” della lezione “Numeri razionali e reali” di Algebra I

1. POTENZE CON ESPONENTI IRRAZIONALI

1. (A) Che cos’è un numero irrazionale?

[È un numero che non è esprimibile mediante una frazione e che invece può essere espresso da un numero decimale illimitato non periodico. Alcuni numeri irrazionali possono essere espressi mediante radicali; esempi: $\sqrt{2}$ è un numero irrazionale ed è uguale a 1,4142135…; $\sqrt{3}$ è un numero irrazionale ed è uguale a 1,7320508… In entrambi i casi ci siamo limitati a scrivere le prime sette cifre decimali, ma le cifre decimali di questi numeri sono infinite.]

2. (A) Da che cosa è costituito l’insieme dei numeri reali?

[Dall’insieme dei numeri razionali e dei numeri irrazionali.]

3. (A) Esistono potenze che hanno per esponente un numero irrazionale (cioè reale ma non razionale)?

[Sì, hanno la forma: ${𝐚}^{𝐱}$, dove $x$ è un numero irrazionale. Esempi: $5^{\sqrt{2}}$; ${23}^{\sqrt{8}}$; $4^{\sqrt{3}}$; $7^{\pi }$.]

4. (B) Sapendo che il numero irrazionale $\sqrt{\mathrm{𝟐}}$ equivale a 1,414213…, qual è la successione dei primi sei numeri decimali finiti (razionali) che costituiscono le sue approssimazioni per difetto?

[1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213.]

5. (B) Sapendo che il numero irrazionale $\sqrt{\mathrm{𝟐}}$ equivale a 1,414213…, qual è la successione dei primi sei numeri decimali finiti (razionali) che costituiscono le sue approssimazioni per eccesso?

[1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; 1,414214.]

6. (A) Date due successioni di potenze di base 5, una con esponenti razionali che sono le approssimazioni per difetto di $\sqrt{\mathrm{𝟐}}$ (${\mathrm{𝟓}}^{\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟒}}$; ${\mathrm{𝟓}}^{\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟒𝟏}}$;${\mathrm{𝟓}}^{\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟒𝟏𝟒}}$; ${\mathrm{𝟓}}^{\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟒𝟏𝟒𝟐}}$; …), l’altra con esponenti razionali che sono le approssimazioni per eccesso di $\sqrt{\mathrm{𝟐}}$ (${\mathrm{𝟓}}^{\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟓}}$; ${\mathrm{𝟓}}^{\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟒𝟐}}$;${\mathrm{𝟓}}^{\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟒𝟏𝟓}}$; ${\mathrm{𝟓}}^{\mathrm{𝟏},\mathrm{𝟒𝟏𝟒𝟑}}$; …), quanti numeri reali esistono più grandi di tutti gli elementi della prima successione e allo stesso tempo più piccoli di tutti gli elementi della seconda successione?

[Uno solo: ${\mathrm{𝟓}}^{\sqrt{\mathrm{𝟐}}}$, (di ciò si può dare una dimostrazione).]

7. (B) Se rappresentiamo con dei punti su una retta il fatto che ${\mathrm{𝟓}}^{\sqrt{\mathrm{𝟐}}}$ è più grande di ciascuno dei numeri della successione di potenze di base 5 con esponenti che sono approssimazioni per difetto di $\sqrt{\mathrm{𝟐}}$ ed è più piccolo di ciascuno dei numeri della successione di potenze di base 5 con esponenti che sono approssimazioni per eccesso di $\sqrt{\mathrm{𝟐}}$, che cosa emerge?

[Che i punti della prima successione, a partire da sinistra, si avvicinano sempre di più al punto che rappresenta ${\mathrm{𝟓}}^{\sqrt{\mathrm{𝟐}}}$, senza mai raggiungerlo e che i punti della seconda successione, a partire da destra, si avvicinano sempre di più al punto che rappresenta ${\mathrm{𝟓}}^{\sqrt{\mathrm{𝟐}}}$, senza mai raggiungerlo.]

8. (A) In generale, come si può definire la potenza ${𝐚}^{𝐱}$ di un numero reale a > 1, che ha esponente irrazionale x > 0?

9. (A) Come si può definire la potenza ${𝐚}^{𝐱}$ di un numero reale a, con 0 < a < 1, che ha esponente irrazionale x > 0?

10. (B) Perché nel definire la potenza ${𝐚}^{𝐱}$ di un numero reale a con esponente irrazionale x > 0 si distingue tra il caso in cui a > 1 e il caso in cui 0 < a < 1?

[Perché nel caso in cui a > 1, al crescere degli esponenti che approssimano x, le potenze crescono, mentre nel caso in cui 0 < a < 1, al crescere degli esponenti che approssimano x, le potenze decrescono. Esempio: 2² < 2³ < 2⁴ …, mentre ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ > ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ > ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$…]

2. POTENZE PARTICOLARI CON ESPONENTI REALI

11. (A) A quale valore corrisponde la potenza 1^x?

[Sempre a 1, qualunque sia il numero reale rappresentato da x.]

12. (B) A quale valore corrisponde la potenza 0^x?

[A 0, se x sta per un qualsiasi numero reale positivo. Se, invece, l’esponente x è nullo o negativo, la potenza non è definita, cioè non è propriamente una potenza.]

13. (A) A quale valore corrisponde la potenza a⁰?

[A 1 se a sta per un qualsiasi numero reale positivo. Se, invece, la base a è nulla o negativa, la potenza non è definita, cioè non è una vera e propria potenza.]

14. (A) A quale valore corrisponde la potenza a^–x?

[A ${\left(\frac{\mathrm{𝟏}}{𝐚}\right)}^{𝐱}$ che può essere scritto anche così: $\frac{1}{a^x}$, per qualsiasi numero reale positivo a e per qualsiasi numero reale positivo x.]

3. PROPRIETÀ DELLE POTENZE CON ESPONENTE IRRAZIOALE

15. (B) Per le potenze con esponente irrazionale valgono le stesse proprietà delle potenze con esponente razionale?

[Sì, tutte e cinque, quindi si può concludere che le potenze a esponente reale (cioè razionale o irrazionale) godono delle cinque proprietà ordinarie delle potenze.]

16. (A) Qual è il prodotto di due potenze con la stessa base a e due diversi esponenti irrazionali x e y: a^x $\cdot$ a^y?

[${\mathit{a}}^{\mathit{x}+\mathit{y}}$. Esempio: $4^{7\sqrt{3}}$ $\cdot$ $4^{-2\sqrt{3}}$ = $4^{5\sqrt{3}}$; è opportuno qui ricordare che l’addizione e la sottrazione tra radicali è possibile se tali radicali hanno lo stesso radicando, mentre il coefficiente (il fattore con il quale ciascun radicale viene moltiplicato) può essere diverso. Nel nostro caso i radicali 7$\sqrt{3}$ e –2$\sqrt{3}$ possono essere sommati ottenendo 5$\sqrt{3}$.]

17. (A) Qual è il quoziente di due potenze con la stessa base a e due diversi esponenti irrazionali x e y: a^x : a^y?

[a^x–y. Esempio: $4^{7\sqrt{3}}$ : $4^{-2\sqrt{3}}$ = $4^{9\sqrt{3}}$; infatti la differenza degli esponenti si ottiene così: 7$\sqrt{3}$ – ($-2\sqrt{3}$) = 7$\sqrt{3}$ + 2$\sqrt{3}$) = 9$\sqrt{3}$.]

18. (A) Qual è la potenza di una potenza ${\left({𝐚}^{𝐱}\right)}^{𝐲}$ se entrambi gli esponenti x e y sono irrazionali?

[a^xy. Esempio: ${\left(5^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{3}}$ = $5^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}$ = $5^{\sqrt{6}}$; infatti il prodotto di due radicali che hanno lo stesso indice è un radicale che ha lo stesso indice (nel nostro caso 2 perché si tratta di radici quadrate) e per radicando il prodotto dei radicandi (nel nostro caso 6).]

19. (A) A che cosa equivale la seguente potenza ${\left({\mathrm{𝟓}}^{-\sqrt{\mathrm{𝟐}}}\right)}^{\sqrt{\mathrm{𝟐}}}$?

[Equivale a $\frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟐𝟓}}$. Ecco i passaggi: ${\left(5^{-\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$ = $5^{-\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}$ = $5^{-\sqrt{2\cdot 2}}$ = $5^{-\sqrt{4}}$ = $5^{-2}$ = $\frac{1}{5^2}$ = $\frac{1}{25}$.]

20. (A) Qual è il prodotto di due potenze con lo stesso esponente irrazionale: a^x $\cdot$ b^x?

[${\left(𝐚\cdot 𝐛\right)}^{𝐱}$. Esempio: $4^{\sqrt{3}}$ $\cdot$ $6^{\sqrt{3}}$ = ${(4\cdot 6)}^{\sqrt{3}}$ = ${24}^{\sqrt{3}}$.]

21. (A) Qual è il quoziente di due potenze con lo stesso esponente irrazionale: a^x : b^x?

[${\left(𝐚:𝐛\right)}^{𝐱}$. Esempio: ${24}^{\sqrt{3}}$ : $6^{\sqrt{3}}$ = ${(24:6)}^{\sqrt{3}}$ = $4^{\sqrt{3}}$.]