3.3 FUNZIONI ESPONENZIALI

1. DEFINIZIONE DI FUNZIONE ESPONENZIALE

1. (A) Che cos’è una funzione esponenziale?

[Una funzione del tipo y = ${𝐚}^{𝐱}$, con a > 0, nella quale la variabile indipendente x può assumere qualsiasi valore reale. Nel capitolo precedente abbiamo considerato potenze in cui x è un numero irrazionale; in questo capitolo, invece, consideriamo x come una variabile che può assumere tutti i valori di R, sia razionali sia irrazionali. La base a è un numero reale positivo. Esempi: y = $2^x$; y = $5^x$; y = ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x$; y = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$; y = $6^{\pi }$.]

2. (B) Com’è detta la a della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$?

[Base della funzione esponenziale.]

3. (A) Come può essere la base a della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$?

[Può essere di tre tipi:

1. o uguale a 1: a = 1
2. o maggiore di 1: a > 1
3. o compresa tra 0 e 1: 0 < a < 1. In quest’ultimo caso, se a è razionale, può essere rappresentata da una frazione positiva con numeratore minore del denominatore; esempi: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{5}$…]

2. SE a = 1

4. (A) Com’è la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, se la base è uguale a uno (a = 1)?

[È la funzione costante y = 1. Attenzione: alcuni non la considerano una vera e propria funzione esponenziale e, conseguentemente, nella definizione di funzione esponenziale mettono la condizione a ≠ 1. Altri, come noi, preferiscono considerarla un caso limite di funzione esponenziale.]

5. (B) Perché se a = 1 la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ è la funzione costante y = 1?

[Perché 1^x = 1 per qualunque numero reale x. Esempio 1: y = $1^3$ → y = 1. Esempio 2: y = $1^2$ → y = 1. Esempio 3: y = $1^{\sqrt{2}}$ → y = 1.]

6. (A) Qual è il grafico della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ con a = 1?

[Poiché la sua equazione è y = 1, il suo grafico è una retta orizzontale parallela all’asse x, passante per il punto di coordinate (0; 1).]

3. SE a > 1

7. (A) Qual è il dominio della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, se la base a è maggiore di 1 (a > 1)?

[L’insieme ℝ dei numeri reali: x ∈ ℝ.]

8. (A) Qual è il codominio della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, se la base a è maggiore di 1 (a > 1)?

[L’insieme ℝ⁺, cioè l’insieme dei numeri reali positivi: y ∈ ℝ⁺.]

9. (A) Che tipo di curva è il grafico della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, con a > 1?

[È una curva crescente, cioè che sale da sinistra verso destra, contenuta interamente nel semipiano delle ordinate positive, attraversando i quadranti I e II del piano cartesiano e l’asse y.]

10. (B) Perché il grafico della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, con a > 1 è contenuto interamente nel semipiano delle ordinate positive?

[Perché il codominio di tale funzione, cioè l’insieme delle y, è costituito da tutti i numeri reali positivi (semiasse positivo delle y) perché un numero positivo come a (ed a lo è perché è maggiore di 1) elevato a una potenza x è sempre positivo.]

11. (A) In quale punto il grafico della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ con a > 1 interseca l’asse y?

[Nel punto di coordinate (0; 1), indipendentemente da quale sia il numero reale maggiore di 1 che a di volta in volta rappresenta. Esempio: ciascuno dei grafici delle funzioni esponenziali y = $2^x$; y = $3^x$; y = $4^x$… interseca l’asse y nel punto (0; 1).]

12. (B) Perché il grafico della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ con a > 1 interseca l’asse y nel punto di coordinate (0; 1) indipendentemente da quale sia il numero reale maggiore di 1 che a di volta in volta rappresenta?

[Perché ${𝐚}^{\mathrm{𝟎}}=\mathrm{𝟏}$ per ogni $𝐚>\mathrm{𝟎}$. Quando il grafico interseca l’asse y, infatti, $x=0$; pertanto $y=a^0=1$.]

13. (B) Che tipo di funzione è la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, se la base a è maggiore di 1 (a > 1)?

[È una funzione biunivoca crescente (strettamente crescente): ad ogni valore di x corrisponde uno e un solo valore di y e viceversa (funzione biunivoca); al crescere dei valori della variabile indipendente x, crescono anche i corrispondenti valori della variabile dipendente y. Esempio: immaginiamo che la base della funzione esponenziale sia 2 (y = $2^x$): se diamo a x il valore 1, y assume il valore 2 (y = $2^1$ = 2); se diamo a x il valore 2, y assume il valore 4 (y = $2^2$ = 4); se diamo a x il valore 3, y assume il valore 8 (y = $2^3$ = 8)…]

14. (A) In una funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ con a > 1, i valori della variabile y raggiungono mai il valore 0?

[No: al decrescere dei valori di x, i corrispondenti valori di y diminuiscono avvicinandosi al valore 0, senza mai raggiungerlo.]

15. (A) Data la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, con a > 1, come si scrive che al decrescere dei valori di x, i corrispondenti valori di y diminuiscono avvicinandosi a 0, senza mai raggiungerlo?

[${𝐚}^{𝐱}$ → 0 per x → $-\infty$.]

16. (A) Data la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ se a > 1, che cosa comporta, a livello grafico, il fatto che al decrescere dei valori di x i valori di y diminuiscono avvicinandosi a 0 senza mai raggiungerlo?

[Che l’asse x, cioè la retta y = 0, è un asintoto orizzontale della funzione; per a > 1 il grafico vi si avvicina quando x → $-\infty$.]

4. SE 0 < a < 1

17. (A) Qual è il dominio della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, se la base a è maggiore di 0 e minore di 1 (0 < a < 1)?

[L’insieme ℝ dei numeri reali: x ∈ ℝ.]

18. (A) Qual è il codominio della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, se la base a è maggiore di 0 e minore di 1 (0 < a < 1)?

[L’insieme ℝ⁺, cioè l’insieme dei numeri reali positivi: y ∈ ℝ⁺.]

19. (A) Che tipo di curva è il grafico della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, se 0 < a < 1?

[È una curva decrescente (strettamente decrescente), cioè che scende da sinistra verso destra, contenuta interamente nel semipiano delle ordinate positive, attraversando i quadranti I e II del piano cartesiano e l’asse $𝐲$.]

20. (A) In quale punto il grafico della funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, con 0 < a < 1, interseca l’asse y?

[Nel punto di coordinate (0; 1), indipendentemente da quale sia il numero reale maggiore di 0 e minore di 1 che a di volta in volta rappresenta. Esempio: ciascuno dei grafici delle funzioni esponenziali y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$; y = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$; y = ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x$… interseca l’asse y nel punto (0; 1).]

21. (B) Che tipo di funzione è la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, se la base a è maggiore di 0 e minore di 1 (0 < a < 1)?

[È una funzione biunivoca decrescente (strettamente decrescente): ad ogni valore di x corrisponde uno e un solo valore di y e viceversa (funzione biunivoca); al crescere dei valori della variabile x, i corrispondenti valori della variabile y decrescono. Esempio: immaginiamo che la base della funzione esponenziale sia $\frac{1}{2}$ (y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$): se diamo a x il valore -3, y assume il valore 8 (y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$ = ${\left(\frac{2}{1}\right)}^3$ = $2^3$ = 8); se diamo a x il valore -2, y assume il valore 4 (y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$ = ${\left(\frac{2}{1}\right)}^2$ = $2^2$ = 4); se diamo a x il valore -1, y assume il valore 2 (y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}$ = ${\left(\frac{2}{1}\right)}^1$ = $2^1$ = 2)…]

22. (A) In una funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ con 0 < a < 1, i valori della variabile y raggiungono mai il valore 0?

[No: al crescere dei valori di x, i corrispondenti valori di y diminuiscono avvicinandosi al valore 0, senza mai raggiungerlo.]

23. (A) Data la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, con 0 < a < 1, come si scrive che al crescere dei valori di x, i corrispondenti valori di y diminuiscono avvicinandosi a 0, senza mai raggiungerlo?

[${𝐚}^{𝐱}$ → 0 per x → $+\infty$.]

24. (A) Data la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ con 0 < a < 1, che cosa comporta, a livello grafico, il fatto che, al crescere dei valori di x, i valori di y diminuiscono avvicinandosi a 0 senza mai raggiungerlo?

[Che l’asse x, cioè la retta y = 0, è un asintoto orizzontale della funzione; per 0 < a < 1 il grafico vi si avvicina quando x → $+\infty$.]

5. CRESCITA E DECRESCITA ESPONENZIALE

25. (A) Data la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, se a > 1, al crescere dei valori della variabile x, i valori di y crescono in modo “rapido” o “lento”?

[Crescono in modo molto rapido, così come se 0 < a < 1, decrescono in modo molto rapido. Esempio: data la funzione y = $2^x$, con a > 1, se x = 10, y = 1024; se x = 20, y = 1048576; se x = 30, y = 1073741824.]

26. (B) Per la rapida crescita o decrescita della variabile y, la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ rappresenta un valido modello matematico per descrivere vari fenomeni naturali o umani, quali per esempio?

[La crescita demografica di una popolazione in seguito ad un forte sviluppo industriale; la diffusione di un’epidemia; il decadimento di una sostanza radioattiva…]

6. PROPRIETÀ COMUNI ALLE FUNZIONI ESPONENZIALI

27. (B) Quali proprietà hanno in comune la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ con a > 1 e la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$ con 0 < a < 1?[

7. GRAFICI SIMMETRICI

28. (A) Data la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, con a > 1, e la funzione esponenziale y = ${\left(\frac{\mathrm{𝟏}}{𝐚}\right)}^{𝐱}$, come sono i loro grafici?

[Sono uno simmetrico dell’altro rispetto all’asse y. Esempio: y = $2^x$ è simmetrico di y = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ e viceversa.]

29. (B) Perché la funzione esponenziale y = ${𝐚}^{𝐱}$, con a > 1, è simmetrica della funzione esponenziale y = ${\left(\frac{\mathrm{𝟏}}{𝐚}\right)}^{𝐱}$, rispetto all’asse y, e viceversa?

[Perché una simmetria rispetto all’asse y trasforma y = ${𝐚}^{𝐱}$ in y = ${𝐚}^{-𝐱}$, ma y = ${𝐚}^{-𝐱}$ equivale a y = $\frac{\mathrm{𝟏}}{{𝐚}^{𝐱}}$, che, a sua volta, equivale a y = ${\left(\frac{\mathrm{𝟏}}{𝐚}\right)}^{𝐱}$.]