4.7 POTENZE IN ℚ E POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO

1. ELEVAMENTO A POTENZA IN ℚ

1. (A) Che potenza si ottiene dall’elevamento a potenza di un numero razionale: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n$?

[Una potenza che è il risultato dell’elevamento a potenza del numeratore e del denominatore; in simboli: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$. Esempio: ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}$.]

2. (A) Il risultato dell’elevamento a potenza di un numero razionale negativo è positivo o negativo?

[È positivo se l’esponente è pari; è negativo se l’esponente è dispari. Esempio 1: ${(-\frac{2}{3})}^2=+\frac{4}{9}$. Esempio 2: ${(-\frac{2}{3})}^3=-\frac{8}{27}$.]

2. POTENZE CON ESPONENTE INTERO NEGATIVO

3. (A) Com’è la potenza di un numero intero con esponente intero negativo: $a^{-n}$?

[È uguale al reciproco della base con esponente positivo: $a^{-n}={\left(\frac{1}{a}\right)}^n$. Esempio: $2^{-3}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$.]

4. (B) Come si fa a dimostrare che la potenza di un numero intero con esponente intero negativo è uguale al reciproco della base con esponente positivo: $a^{-n}={\left(\frac{1}{a}\right)}^n$?

[Facciamo vedere che la potenza di un numero con esponente intero negativo è uguale alla divisione tra due potenze che hanno la stessa base e due esponenti positivi, di cui il primo minore del secondo. Esempio: per dimostrare che $2^{-3}=\frac{1}{2^3}$, consideriamo la seguente divisione: $2^5:2^8=2^{5-8}=2^{-3}$. Riscriviamo la precedente divisione sotto forma di frazione e semplifichiamo:

$\frac{2^5}{2^8}=\frac{2\times 2\times 2\times 2\times 2}{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2}=\frac{1}{2\times 2\times 2}=\frac{1}{2^3}$

Ne deduciamo che $2^{-3}=\frac{1}{2^3}$.]

5. (A) Com’è la potenza di un numero razionale diverso da 0 con esponente intero negativo?

[È una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente l’opposto dell’esponente: ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$, analogamente al caso di una potenza di un numero intero con esponente negativo che abbiamo visto sopra. Esempio: ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-2}={\left(\frac{5}{3}\right)}^2$.]

3. PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN ℚ

6. (A) Le potenze con basi razionali e le potenze con esponenti negativi godono delle stesse proprietà usuali delle potenze?

[Sì, senza eccezione.]

7. (B) Qual è il prodotto di ${(+\frac{2}{3})}^2\cdot {(+\frac{2}{3})}^3$?

[ ${(+\frac{2}{3})}^{2+3}={(+\frac{2}{3})}^5=+\frac{32}{729}=+\frac{8}{243}$.]

8. (B) Qual è il quoziente di ${(+\frac{2}{3})}^{-5}:{(+\frac{2}{3})}^{-3}$?

[ ${(+\frac{2}{3})}^{-5-(-3)}={(+\frac{2}{3})}^{-2}={(+\frac{3}{2})}^2=+\frac{9}{4}$.]

9. (B) Qual è il quoziente di ${(-\frac{2}{3})}^{-5}:{(-\frac{2}{3})}^{-3}$?

[ ${(-\frac{2}{3})}^{-5-(-3)}={(-\frac{2}{3})}^{-2}={(-\frac{3}{2})}^2=+\frac{9}{4}$. È da notare che il risultato è uguale a quello della domanda precedente, perché, anche se, in questo caso la base è negativa, l’esponente è pari.]

10. (B) Qual è il quoziente di ${(-\frac{2}{3})}^{-5}:{(-\frac{2}{3})}^{-2}$?

[ ${(-\frac{2}{3})}^{-5-(-2)}={(-\frac{2}{3})}^{-3}={(-\frac{3}{2})}^3=-\frac{27}{8}$. È da notare che il risultato è un numero razionale negativo, perché la base è negativa e l’esponente è dispari.]

11. (B) Come si risolve il seguente elevamento a potenza di una potenza: ${\left[{(-\frac{1}{2})}^{-3}\right]}^{-2}$?

[ ${(-\frac{1}{2})}^{(-3)\cdot (-2)}={(-\frac{1}{2})}^6=\frac{1}{64}$. È bene precisare che $-\frac{1}{2}$ elevato a 6 fa un numero razionale positivo $\frac{1}{64}$ perché quando un numero negativo è elevato a un esponente pari il risultato è un numero positivo.]

4. ℚ È UN AMPLIAMENTO DI ℤ

12. (A) Che rapporto c’è tra l’insieme ℚ dei numeri razionali e l’insieme ℤ dei numeri interi?

[ℤ è un sottoinsieme di ℚ e ℚ è un ampliamento di ℤ.]

13. (B) Perché ℚ è un ampliamento di ℤ? [

14. (B) Quali operazioni sono possibili nell’insieme ℚ dei numeri razionali che non sono possibili nell’insieme ℤ dei numeri interi? [