4.6 LE 4 OPERAZIONI ELEMENTARI IN ℚ

1. ADDIZIONE E SOTTRAZIONE IN ℚ

1. (A) Qual è la somma (o la differenza) di due numeri razionali espressi da frazioni che hanno lo stesso denominatore?

[È un numero espresso da una frazione che ha lo stesso denominatore delle frazioni di partenza e per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori. Esempio 1: $+\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=+\frac{9}{4}$. Esempio 2: $-\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=-\frac{5}{7}$.]

2. (A) Qual è la somma (o la differenza) di due numeri razionali espressi da frazioni che hanno denominatori diversi?

[È un numero espresso da una frazione che ha per denominatore il minimo comune denominatore e per numeratore la somma (o la differenza) dei numeratori delle frazioni equivalenti a quelle di partenza ridotte al minimo comune denominatore. Esempio 1: $+\frac{2}{5}+\frac{5}{3}=\frac{6+25}{15}=+\frac{31}{15}$. Esempio 2: $-\frac{2}{5}+\frac{5}{3}=\frac{-6+25}{15}=+\frac{19}{15}$.]

3. (A) Quali proprietà dell’addizione e della sottrazione valgono in ℚ?

[La proprietà commutativa e la proprietà associativa dell’addizione, la proprietà invariantiva della sottrazione, e la proprietà dell’esistenza dell’opposto (per ogni numero razionale relativo esiste sempre l’opposto, come per i numeri interi).

Esempio relativo alla proprietà commutativa: $+\frac{2}{3}-\frac{5}{2}=-\frac{5}{2}+\frac{2}{3}$, infatti $+\frac{2}{3}-\frac{5}{2}=\frac{4-15}{6}=-\frac{11}{6}$ e $-\frac{5}{2}+\frac{2}{3}=\frac{-15+4}{6}=-\frac{11}{6}$.

Esempio relativo alla proprietà associativa: $+\frac{2}{5}+\frac{1}{5}-\frac{7}{8}=+\frac{3}{5}-\frac{7}{8}$.

Esempio relativo alla proprietà invariantiva: data la somma algebrica $+\frac{3}{2}-\frac{4}{5}=\frac{7}{10}$, se a entrambi gli addendi addizioniamo $-\frac{1}{2}$, il risultato non cambia: $(\frac{3}{2}-\frac{1}{2})-(\frac{4}{5}-\frac{1}{2})=\frac{3-1}{2}-\frac{8-5}{10}=\frac{2}{2}-\frac{3}{10}=1-\frac{3}{10}=\frac{10-3}{10}=\frac{7}{10}$.

Esempio relativo all’esistenza dell’opposto: l’opposto di $+\frac{3}{5}$ è $-\frac{3}{5}$.]

4. (B) In ℚ vale la prima legge di monotonia per l’addizione e per la sottrazione in ℚ?

[Sì, sia per le uguaglianze che per le disuguaglianze. Esempio: se a entrambi i membri dell’uguaglianza $+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=+\frac{5}{9}$ aggiungiamo $+\frac{2}{9}$, otteniamo un’altra uguaglianza: $+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=+\frac{5}{9}+\frac{2}{9}$.]

5. (A) Qual è l’elemento neutro dell’addizione algebrica in ℚ?

[Lo 0, come nell’insieme ℤ dei numeri interi. Esempio: $-\frac{6}{13}+0=-\frac{6}{13}$.]

6. (A) L’addizione e la sottrazione sono operazioni interne a ℚ?

[Sì, entrambe. Esempio: $+\frac{3}{7}-\frac{5}{7}=-\frac{2}{7}$: sia i primi due termini che la somma algebrica sono numeri razionali.]

2. MOLTIPLICAZIONE IN ℚ

7. (A) Qual è il prodotto di due numeri razionali espressi da due frazioni?

[È il numero espresso dalla frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori e segno positivo se le due frazioni sono concordi e negativo se sono discordi. Esempio 1: $\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{3}=\frac{12}{15}$. Esempio 2: $-\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{3}=-\frac{12}{15}$.]

8. (A) Quali sono le proprietà della moltiplicazione in ℚ?

[La proprietà commutativa, associativa, distributiva rispetto all’addizione, la legge di annullamento del prodotto, la seconda legge di monotonia sia per le uguaglianze che per le disuguaglianze.

Esempio relativo alla proprietà distributiva rispetto all’addizione: $\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{3}+\frac{1}{6})=(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3})+(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6})$.

Esempio relativo alla seconda legge di monotonia: se moltiplichiamo entrambi i membri dell’uguaglianza $(\frac{1}{3}+\frac{1}{2})=\frac{5}{6}$, per uno stesso fattore come, per esempio, $\frac{2}{3}$, l’uguaglianza resta vera: $(\frac{1}{3}+\frac{1}{2})\cdot \frac{2}{3}=\frac{5}{6}\cdot \frac{2}{3}$.]

9. (A) Quali sono, rispettivamente, l’elemento neutro e l’elemento assorbente della moltiplicazione in ℚ?

[L’elemento neutro è 1, l’elemento assorbente è 0. Esempio 1: $\frac{3}{5}\cdot 1=\frac{3}{5}$. Esempio 2: $-\frac{3}{5}\cdot 0=0$.]

10. (B) La moltiplicazione è un’operazione interna a ℚ?

[Sì. Esempio: $(+\frac{4}{3})\cdot (-\frac{5}{2})=-\frac{20}{6}$: sia i due fattori che il prodotto sono numeri razionali.]

3. RECIPROCO

11. (A) Che cos’è il reciproco di un numero razionale?

[Il numero razionale che si ottiene scambiando il numeratore con il denominatore. Esempio 1: il reciproco di $+\frac{2}{5}$ è $+\frac{5}{2}$. Esempio 2: il reciproco di $-\frac{3}{4}$ è $-\frac{4}{3}$. Esempio 3: il reciproco di $+\frac{1}{3}$ è +3.]

12. (A) Qual è il reciproco di 0 (ovvero il reciproco del numero razionale $\frac{0}{1}$)?

[Non esiste, perché non esistono frazioni con denominatore 0. In generale, l’espressione $\frac{n}{0}$, con n naturale o intero ≠ 0, non ha significato.]

13. (A) Qual è il prodotto di un numero razionale diverso da 0 per il suo reciproco?

[Sempre 1. Esempio 1: $\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2}=1$. Esempio 2: $(-\frac{2}{3})\cdot (-\frac{3}{2})=1$.]

4. DIVISIONE

14. (A) Qual è il quoziente di due numeri razionali, di cui il secondo è diverso da 0?

[È uguale al prodotto del primo per il reciproco del secondo. In simboli: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$, con b, c, d ≠ 0. Esempio: $\frac{3}{4}:\frac{2}{7}=\frac{3}{4}\cdot \frac{7}{2}$.]

15. (A) Quali sono le proprietà della divisione in ℚ?

[La proprietà invariantiva e la proprietà distributiva a destra rispetto all’addizione e alla sottrazione, come nell’insieme ℤ.]

16. (A) La divisione è un’operazione interna in ℚ?

[Sì, a differenza che in ℤ. Esempio: mentre 3 : 12 non ha risultato in ℤ, $\frac{2}{5}:\frac{3}{5}$ ha un risultato nonostante il secondo termine sia maggiore del primo, e infatti $\frac{2}{5}:\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{3}=\frac{2}{3}$.]