4.5 CONFRONTO TRA NUMERI RAZIONALI E PROPRIETÀ DI ℚ

1. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI RAZIONALI SU UNA RETTA

1. (A) Come deve essere la retta su cui rappresentiamo i numeri razionali?

[Orizzontale, orientata verso destra, con un punto O che rappresenta l’origine e corrisponde a 0: i numeri razionali positivi stanno a destra dello 0, mentre quelli negativi a sinistra di esso.]

2. (A) A che cosa corrispondono le frazioni tra loro equivalenti sulla retta che rappresenta i numeri razionali?

[A uno stesso punto sulla retta.

Esempio: le frazioni $+\frac{2}{3}$, $+\frac{4}{6}$, $+\frac{6}{9}$, $+\frac{8}{12}$… rappresentano lo stesso punto sulla retta.]

2. CONFRONTO TRA RAZIONALI RELATIVI

3. (A) Il numero 0 è maggiore o minore, rispettivamente, dei numeri razionali negativi e dei numeri razionali positivi?

[È maggiore di tutti i numeri razionali negativi e minore di tutti i numeri razionali positivi.

Esempi: 0 > $-\frac{7}{10}$ e 0 < $+\frac{2}{3}$.]

4. (A) Tra due numeri razionali discordi, qual è il maggiore?

[Sempre quello positivo.

Esempio: tra $-\frac{7}{5}$ e $+\frac{2}{3}$, è maggiore $+\frac{2}{3}$.]

5. (A) Tra due numeri razionali positivi, quale è il maggiore?

[Se hanno lo stesso denominatore, è maggiore quello che ha il numeratore maggiore.

Esempio: tra $+\frac{3}{5}$ e $+\frac{4}{5}$ è maggiore $+\frac{4}{5}$.]

6. (A) Se due numeri razionali positivi non hanno lo stesso denominatore, come si fa a sapere qual è il maggiore? [

7. (B) Come si fa a sapere quale fra questi due numeri razionali positivi $+\frac{4}{7}$ e $+\frac{3}{5}$ è il maggiore riducendoli a denominatore comune? [

8. (B) Come si fa a sapere quale fra questi due numeri razionali positivi $+\frac{4}{7}$ e $+\frac{3}{5}$ è il maggiore utilizzando il prodotto in croce tra le due frazioni?

[Poiché il prodotto del numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda (4 × 5 = 20) è minore del prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda (7 × 3 = 21), la prima frazione ($+\frac{4}{7}$) è minore della seconda ($+\frac{3}{5}$). Chiamiamo “diagonale principale” quella che si trova tra il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda, e “diagonale secondaria” l’altra.]

9. (A) Tra due numeri razionali negativi, quale è il maggiore?

[Quello che ha il valore assoluto minore.

Esempio: tra $-\frac{2}{3}$ e $-\frac{3}{4}$, è maggiore $-\frac{2}{3}$, perché il valore assoluto di $-\frac{2}{3}$ è minore del valore assoluto di $-\frac{3}{4}$. Vediamo i passaggi. Riduciamo le due frazioni a denominatore comune: $-\frac{2}{3}=-\frac{8}{12}$ e $-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12}$. Confrontiamo i valori assoluti: $|-\frac{8}{12}|<|-\frac{9}{12}|$, quindi $|-\frac{2}{3}|<|-\frac{3}{4}|$. Poiché il valore assoluto di $-\frac{2}{3}$ è minore del valore assoluto di $-\frac{3}{4}$, se ne deduce che $-\frac{2}{3}$ è maggiore di $-\frac{3}{4}$: $-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}$.]

3. PROPRIETÀ DI ℚ

10. (A) Quali sono le proprietà dell’insieme ℚ dei numeri razionali?

[ℚ è infinito, ordinato, denso.]

11. (A) Che cosa significa che l’insieme ℚ dei numeri razionali è ordinato?

[Che, dati due numeri razionali qualsiasi, è sempre possibile stabilire se uno è maggiore o minore dell’altro.]

12. (A) Che cosa significa che l’insieme ℚ dei numeri razionali è denso?

[Che tra due numeri razionali qualsiasi si trovano infiniti altri numeri razionali nel mezzo.]

13. (A) La proprietà di un insieme di essere denso a quale proprietà si contrappone?

[Alla proprietà di essere discreto.]

14. (B) Le proprietà dell’insieme ℚ dei numeri razionali sono le stesse dell’insieme ℕ dei numeri naturali e dell’insieme ℤ dei numeri interi?

[No, ℚ è infinito, ordinato e denso, mentre ℕ e ℤ sono infiniti, ordinati e discreti.]