4.4 NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI E RELATIVI

1. (A) In prima approssimazione, che cosa sono i numeri razionali?

[I numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione. Come vedremo nei prossimi capitoli, i numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione sono (a parte le frazioni stesse, ovviamente): i numeri naturali, i numeri decimali finiti e i numeri decimali infiniti periodici (non i numeri decimali infiniti non periodici).]

1. NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI

2. (A) Che cos’è un numero razionale assoluto?

[Un numero razionale assoluto è una classe di frazioni equivalenti tra loro, che hanno al numeratore e al denominatore dei numeri naturali.

Esempio: $[\frac{2}{3}]$ = ${\frac{2}{3}, \frac{4}{6}, \frac{6}{9}, \frac{8}{12}, \dots}$ .]

3. (A) Quante sono le frazioni che appartengono a una stessa classe di equivalenza e che costituiscono un numero razionale assoluto?

[Infinite. Infatti, data una frazione $\frac{a}{b}$ , per ottenere una frazione equivalente, basta moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero naturale n, e i numeri naturali sono infiniti.]

4. (B) Delle infinite frazioni equivalenti tra loro che costituiscono un numero razionale, quale viene assunta come rappresentante dell’intera classe?

[Quella ridotta ai minimi termini.

Esempio: delle infinite frazioni equivalenti che costituiscono la classe ${\frac{2}{3}, \frac{4}{6}, \frac{6}{9}, \frac{8}{12}, \dots}$ è $\frac{2}{3}$ la frazione che le rappresenta tutte.]

5. (A) Qual è il simbolo dell’insieme dei numeri razionali assoluti?

[ $ℚ_{a}$ .]

6. (B) Perché i numeri razionali assoluti sono detti, per l’appunto, “assoluti”?

[Perché non hanno il segno + o il segno − davanti.]

2. NUMERI RAZIONALI RELATIVI

7. (A) Che cos’è un numero razionale relativo (o, semplicemente, un numero razionale)?

[È la classe di tutte le frazioni equivalenti tra loro precedute dal segno + o dal segno −.

Esempio 1: un numero razionale relativo è costituito dalla classe di tutte le frazioni equivalenti a $+ \frac{2}{3}$ : $+ \frac{2}{3}; + \frac{4}{6}; + \frac{6}{9}; + \frac{8}{12} \dots$

Esempio 2: un numero razionale relativo è costituito dalla classe di tutte le frazioni equivalenti a $- \frac{2}{3}$ : $- \frac{2}{3}; - \frac{4}{6}; - \frac{6}{9}; - \frac{8}{12} \dots$

Esempio 3: un numero razionale relativo è costituito dalla classe di tutte le frazioni equivalenti a $- \frac{3}{4}$ : $- \frac{3}{4}; - \frac{6}{8}; - \frac{9}{12}; - \frac{12}{16} \dots$ .]

8. (A) Come sono anche detti i numeri razionali relativi?

[Semplicemente “numeri razionali” (senza alcun aggettivo).]

9. (B) Che tipi di numeri sono il numeratore e il denominatore di un numero razionale relativo?

[Sono numeri interi (tranne lo 0 al denominatore).

Esempio: $\frac{- 2}{3}$ o è $\frac{- 2}{+ 3}$ o è $\frac{+ 2}{- 3}$ ; in entrambi i casi il numeratore e il denominatore non sono numeri naturali ma numeri interi.]

10. (A) Qual è il simbolo dell’insieme dei numeri razionali (relativi)?

[ℚ.]

11. (B) Da che cosa è formato l’insieme ℚ dei numeri razionali relativi? [

Dall’insieme ℚ⁺ dei numeri razionali positivi,
dall’insieme ℚ⁻ dei numeri razionali negativi,
e dallo 0.]

Rappresentazione dell’insieme dei numeri razionali positivi, negativi e dello zero

12. (B) Tra gli elementi di quali di questi insiemi c’è corrispondenza biunivoca: $ℚ_{a}$ (razionali assoluti), ℚ (razionali relativi), ℚ⁺ (razionali positivi), ℚ⁻ (razionali negativi)?

[Tra $ℚ_{a}$ e ℚ⁺: ad ogni numero razionale assoluto corrisponde un numero razionale positivo e viceversa. Per questo i numeri razionali positivi spesso vengono scritti omettendo il segno +.

Esempio 1: il numero razionale assoluto $\frac{2}{3}$ corrisponde al numero razionale positivo $+ \frac{2}{3}$ e viceversa.

Esempio 2: il numero razionale assoluto $\frac{5}{11}$ corrisponde al numero razionale positivo $+ \frac{5}{11}$ e viceversa.]

3. RAZIONALI RELATIVI CONCORDI, DISCORDI, OPPOSTI

13. (B) Le regole per stabilire se due numeri razionali relativi (insieme ℚ) sono concordi, discordi o opposti si differenziano da quelle dei numeri interi relativi (insieme ℤ)?

[No, sono le stesse.]

14. (A) Quand’è che due numeri razionali relativi sono, rispettivamente: concordi, discordi, opposti? [

Concordi quando hanno lo stesso segno; esempio: $+ \frac{2}{3}$ e $+ \frac{4}{7}$ ;
discordi quando hanno segno diverso; esempio: $+ \frac{2}{3}$ e $- \frac{4}{7}$ ;
opposti quando hanno lo stesso valore assoluto ma segno diverso; esempio: $+ \frac{2}{3}$ e $- \frac{2}{3}$ .]

4. VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO RAZIONALE

15. (A) Qual è il valore assoluto di un numero razionale?

[Se il numero razionale è positivo o 0, il suo valore assoluto è il numero stesso; se il numero razionale è negativo, il suo valore assoluto è l’opposto di tale numero negativo.

Esempio 1: il valore assoluto di $+ \frac{2}{3}$ è $+ \frac{2}{3}$ ; per esprimerci con le barre verticali: $| + \frac{2}{3} | = + \frac{2}{3}$ .

Esempio 2: il valore assoluto di $- \frac{2}{3}$ è $+ \frac{2}{3}$ ; per esprimerci con le barre verticali: $| - \frac{2}{3} | = + \frac{2}{3}$ . Poiché, come abbiamo visto, c’è una corrispondenza biunivoca tra numeri razionali positivi e numeri razionali assoluti, il segno + si può anche omettere.]

16. (C) Qual è il valore assoluto di $- \frac{7}{4}$ ?

[ $\frac{7}{4}$ . Scritto in modo più formale: $| - \frac{7}{4} | = \frac{7}{4}$ .]

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