4.3 RIDURRE UNA FRAZIONE AI MINIMI TERMINI E DUE FRAZIONI A DENOMINATORE COMUNE

1. SEMPLIFICARE UNA FRAZIONE

1. (A) In che cosa consiste la semplificazione di una frazione?

[Nel dividere il numeratore e il denominatore per uno stesso numero naturale passando così ad una frazione equivalente.

Esempio: data la frazione $\frac{10}{20}$, se dividiamo numeratore e denominatore per 2 otteniamo la frazione semplificata $\frac{5}{10}$, che è equivalente a $\frac{10}{20}$, cioè le due frazioni rappresentano la stessa quantità.]

2. (B) In base a quale proprietà si può semplificare una frazione?

[In base alla proprietà invariantiva, che afferma che se si divide per un numero naturale diverso da 0 sia il numeratore che il denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente a quella data.]

2. RIDURRE UNA FRAZIONE AI MINIMI TERMINI

3. (A) Quand’è che una frazione è ridotta ai minimi termini?

[Quando numeratore e denominatore sono primi tra loro.

Esempi: $\frac{6}{11}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{2}$.]

4. (B) Com’è altrimenti detta una frazione ridotta ai minimi termini?

[Irriducibile.]

5. (A) Come si fa a passare da una frazione che non è ridotta ai minimi termini ad una equivalente, ridotta ai minimi termini?

[Si opera una semplificazione, cioè si dividono il numeratore e il denominatore per uno stesso numero naturale e, più precisamente, per il loro massimo comune divisore (MCD).

Esempio: se si vuole ridurre ai minimi termini $\frac{48}{54}$, occorre dividere entrambi i termini della frazione (numeratore e denominatore) per 6, che è il loro massimo comune divisore (anche 2 e 3 sono divisori comuni di 48 e 54, ma sono minori di 6), e si ottiene $\frac{8}{9}$, che è equivalente a $\frac{48}{54}$.]

6. (C) Quali delle seguenti frazioni sono irriducibili (sono, cioè, ridotte ai minimi termini): $\frac{7}{3}$; $\frac{12}{15}$; $\frac{2}{4}$; $\frac{4}{8}$; $\frac{24}{25}$?

[$\frac{7}{3}$ e $\frac{24}{25}$ e infatti $\frac{7}{3}$ è costituita da due numeri primi (7 e 3), e $\frac{24}{25}$ è costituita da due numeri primi tra loro perché sono interi consecutivi (25 è il successore di 24). Invece $\frac{12}{15}$, ridotta ai minimi termini, diventa $\frac{4}{5}$ (abbiamo diviso numeratore e denominatore per 3); $\frac{2}{4}$, ridotta ai minimi termini, diventa $\frac{1}{2}$ (abbiamo diviso numeratore e denominatore per 2); $\frac{4}{8}$, ridotta ai minimi termini, diventa $\frac{1}{2}$ (abbiamo diviso numeratore e denominatore per 4).]

3. RIDURRE DUE FRAZIONI A DENOMINATORE COMUNE

7. (A) Che cosa significa ridurre due frazioni al minimo comune denominatore?

[Significa trovare due frazioni che hanno lo stesso denominatore e ciascuna delle quali è equivalente a una delle frazioni date (ma non all’altra).

Esempio: $\frac{3}{4}$ e $\frac{7}{5}$, ridotte al minimo comune denominatore, diventano, rispettivamente: $\frac{15}{20}$ e $\frac{28}{20}$; $\frac{15}{20}$ è equivalente a $\frac{3}{4}$, mentre $\frac{28}{20}$ è equivalente a $\frac{7}{5}$.]

8. (A) A che cosa corrisponde il minimo comune denominatore di due frazioni?

[Al minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori.

Esempio: 20, che è il minimo comune denominatore di $\frac{3}{4}$ e $\frac{7}{5}$, è anche il minimo comune multiplo dei denominatori 4 e 5.]

9. (A) Date due frazioni $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ come si fa a calcolare il numeratore delle corrispondenti frazioni che hanno come denominatore il minimo comune denominatore delle frazioni di partenza?

[Per la frazione corrispondente a $\frac{a}{b}$, si divide il minimo comune denominatore per b e si moltiplica il quoziente per a; per la frazione corrispondente a $\frac{c}{d}$, si divide il minimo comune denominatore per d e si moltiplica il quoziente per c.

Esempio 1: date le frazioni $\frac{2}{3}$ e $\frac{5}{4}$, il minimo comune denominatore è 12 (che è il minimo comune multiplo fra 3 e 4); quindi 12 va messo come denominatore di entrambe le nuove frazioni. Per trovare il numeratore della frazione corrispondente a $\frac{2}{3}$, si divide 12 per 3 e si moltiplica il quoziente (4) per 2; quindi si ottiene $\frac{8}{12}$ che è la frazione corrispondente a $\frac{2}{3}$. Per trovare il numeratore della frazione corrispondente a $\frac{5}{4}$, si divide 12 per 4 e si moltiplica il quoziente (3) per 5; quindi si ottiene $\frac{15}{12}$ che è la frazione corrispondente a $\frac{5}{4}$.

Esempio 2: date le frazioni $\frac{1}{5}$ e $\frac{4}{15}$, il minimo comune denominatore è 15 (che è il minimo comune multiplo fra 5 e 15); quindi 15 va messo come denominatore di entrambe le nuove frazioni. Per trovare il numeratore della frazione corrispondente a $\frac{1}{5}$, si divide 15 per 5 e si moltiplica il quoziente (3) per 1; quindi si ottiene $\frac{3}{15}$ che è la frazione corrispondente a $\frac{1}{5}$. Per trovare il numeratore della frazione corrispondente a $\frac{4}{15}$, si divide 15 per 15 e si moltiplica il quoziente (1) per 4; quindi si ottiene $\frac{4}{15}$ che è la frazione corrispondente a $\frac{4}{15}$.]

10. (C) Quali sono le frazioni corrispondenti, rispettivamente, a $\frac{2}{7}$ e a $\frac{8}{5}$, se queste vengono ridotte al minimo comune denominatore?

[$\frac{10}{35}$ e $\frac{52}{35}$. Infatti, il minimo comune denominatore delle frazioni di partenza è 35 (che è il minimo comune multiplo fra 7 e 5); quindi 35 va messo come denominatore di entrambe le nuove frazioni. Per trovare il numeratore della frazione corrispondente a $\frac{2}{7}$, si divide 35 per 7 e si moltiplica il quoziente (5) per 2; quindi si ottiene $\frac{10}{35}$ che è la frazione corrispondente a $\frac{2}{7}$. Per trovare il numeratore della frazione corrispondente a $\frac{8}{5}$, si divide 35 per 5 e si moltiplica il quoziente (7) per 8; quindi si ottiene $\frac{52}{35}$ che è la frazione corrispondente a $\frac{8}{5}$.]