4.2 FRAZIONI EQUIVALENTI E PROPRIETÀ INVARIANTIVA DELLE FRAZIONI

1. FRAZIONI EQUIVALENTI

1. (A) Quand’è che due frazioni sono equivalenti?

[Quando rappresentano la stessa quantità.

Esempio: $\frac{2}{3}$ e $\frac{4}{6}$ sono equivalenti perché rappresentano la stessa quantità e infatti se dividiamo una torta in tre parti uguali e ne prendiamo due oppure se dividiamo la torta in sei parti uguali e ne prendiamo quattro, otteniamo in entrambi i casi la stessa quantità di torta (nel primo caso due fette, nel secondo quattro ma che rappresentano la stessa quantità perché sono più piccole anche se più numerose).]

2. (A) Come si fa a sapere se due frazioni sono equivalenti?

[Sono equivalenti se il prodotto del numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione è uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda. In simboli: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ quando a ⋅ d = b ⋅ c.

Esempio: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$, infatti 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4.]

3. (A) Come si chiama il procedimento che si esegue per stabilire se due frazioni sono equivalenti?

[Prodotto in croce.]

4. (C) Quali di queste frazioni rappresentano coppie di frazioni equivalenti: $\frac{3}{4}$ e $\frac{6}{8}$; $\frac{4}{3}$ e $\frac{12}{9}$; $\frac{5}{3}$ e $\frac{3}{5}$?

[Le coppie $\frac{3}{4}$ e $\frac{6}{8}$; $\frac{4}{3}$ e $\frac{12}{9}$. Facendo il prodotto a croce della prima coppia, otteniamo lo stesso prodotto: 3 ⋅ 8 = 24 e 4 ⋅ 6 = 24. Facendo il prodotto a croce della seconda coppia, otteniamo lo stesso prodotto: 4 ⋅ 9 = 36 e 3 ⋅ 12 = 36. Invece, facendo il prodotto a croce della terza coppia, otteniamo prodotti diversi: 5 ⋅ 5 = 25 e 3 ⋅ 3 = 9.]

2. PROPRIETÀ INVARIANTIVA DELLE FRAZIONI

5. (A) Che cosa afferma la proprietà invariantiva delle frazioni?

[Se si moltiplica (o si divide) per un numero naturale diverso da 0 sia il numeratore che il denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente a quella data.

Esempio 1: data la frazione $\frac{3}{5}$, se moltiplichiamo il numeratore (3) e il denominatore (5) per 2, otteniamo $\frac{6}{10}$ che è equivalente a $\frac{3}{5}$.

Esempio 2: data la frazione $\frac{6}{9}$, se dividiamo il numeratore (6) e il denominatore (9) per 3 otteniamo $\frac{2}{3}$ che è equivalente a $\frac{6}{9}$.]

6. (C) Perché le frazioni godono della proprietà invariantiva?

[Perché una frazione $\frac{a}{b}$ rappresenta il quoziente tra a e b, quindi una frazione è una divisione e la proprietà invariantiva è una proprietà delle divisioni.]