4.8 ALTRI MODI DI RAPPRESENTARE I NUMERI RAZIONALI

1. RAPPRESENTAZIONI DEI NUMERI RAZIONALI DIVERSE DALLE FRAZIONI

1. (A) Abbiamo detto che un numero razionale è un numero che può essere scritto sotto forma di frazione, ma ci sono altri modi di rappresentare i numeri razionali oltre che in forma di frazione, quali? [

2. (B) Perché i numeri razionali possono essere rappresentati in forme diverse dalle frazioni?

[Perché certe frazioni possono essere trasformate in numeri interi, altre in numeri decimali finiti, altre in numeri decimali infiniti periodici, altre in numeri percentuali.]

3. (B) In quali tipi di numeri decimali non possono mai essere espressi i numeri razionali?

[In numeri decimali infiniti non periodici (come vedremo in seguito, i numeri decimali infiniti non periodici sono, infatti, numeri irrazionali). Al contrario, come abbiamo detto sopra, alcuni numeri razionali possono essere rappresentati da numeri decimali finiti e altri da numeri decimali infiniti periodici.]

4. (C) I numeri razionali quando vengono rappresentati tramite frazioni vengono definiti come classi di frazioni equivalenti, qualcosa di analogo avviene anche quando vengono rappresentati in altro modo?

[No, quando vengono rappresentati tramite numeri decimali o percentuali o numeri interi, non si definiscono facendo riferimento a classi equivalenti. Esempio: se un numero razionale è rappresentato dal numero decimale finito 2,3, esso è rappresentato solo da tale numero decimale e non da una classe di numeri decimali finiti equivalenti a 2,3.]

2. NUMERI RAZIONALI RAPPRESENTATI DA NUMERI INTERI

5. (A) Quand’è che un numero razionale espresso da una frazione $\frac{a}{b}$ può anche essere rappresentato da un numero intero?

[Quando il numeratore a è un multiplo del denominatore b, cioè quando la frazione è apparente. Esempio 1: il numero razionale espresso da $\frac{12}{4}$ può anche essere rappresentato da 3. Esempio 2: il numero razionale espresso da $\frac{-9}{3}$ può anche essere rappresentato da −3. Esempio 3: il numero razionale espresso da $\frac{500}{10}$ può anche essere rappresentato da 50. Esempio 4: il numero razionale espresso da $\frac{-6}{1}$ può anche essere rappresentato da −6.]

6. (B) Perché un numero razionale espresso da una frazione $\frac{a}{b}$ può anche essere rappresentato da un numero intero quando il numeratore a è un multiplo del denominatore b?

[Perché il quoziente di a : b è un numero intero (ricordiamo che la frazione $\frac{a}{b}$ è il quoziente tra a e b). Esempio 1: il numero razionale espresso da $\frac{12}{4}$ può anche essere rappresentato da 3 perché 12 : 4 = 3. Esempio 2: il numero razionale espresso da $\frac{-9}{3}$ può anche essere rappresentato da −3 perché −9 : 3 = −3. Esempio 3: il numero razionale espresso da $\frac{500}{10}$ può anche essere rappresentato da 50 perché 500 : 10 = 50. Esempio 4: il numero razionale espresso da $\frac{-6}{1}$ può anche essere rappresentato da −6 perché −6 : 1 = −6.]

3. NUMERI RAZIONALI RAPPRESENTATI DA NUMERI DECIMALI FINITI

7. (A) Quand’è che un numero razionale espresso da una frazione $\frac{a}{b}$ può anche essere rappresentato da un numero decimale finito?

[Quando i fattori primi del denominatore b della frazione $\frac{a}{b}$, ridotta ai minimi termini, sono o il numero 2 o il numero 5 o entrambi ma non anche altri numeri. Esempio 1: il numero razionale espresso dalla frazione $\frac{9}{4}$, può anche essere rappresentato dal numero decimale finito 2,25 perché 9 : 4 = 2,25. In accordo con quanto spiegato sopra, il denominatore della frazione $\frac{9}{4}$, ovvero 4, ha come unico fattore primo 2². Esempio 2: il numero razionale espresso dalla frazione $\frac{7}{25}$, può anche essere rappresentato dal numero decimale finito 0,28 perché 7 : 25 = 0,28. In accordo con quanto spiegato sopra, il denominatore della frazione $\frac{7}{25}$, ovvero 25, ha come unico fattore primo 5². Esempio 3: il numero razionale espresso dalla frazione $\frac{630}{10}$, può anche essere rappresentato dal numero decimale finito 6,3 perché 630 : 10 = 6,3. In accordo con quanto spiegato sopra, il denominatore della frazione $\frac{630}{10}$, ovvero 10, ha come fattori primi 2 e 5.]

3.1 FRAZIONI DECIMALI

8. (B) A quali tipi di frazione bisogna fare riferimento per spiegare perché se una frazione, ridotta ai minimi termini, presenta un denominatore i cui fattori primi sono o una potenza di 2 o una potenza di 5 o di entrambi, allora possiamo essere certi che essa rappresenta un numero decimale finito?

[Alle frazioni decimali.]

9. (A) Che cosa sono le frazioni decimali?

[Sono frazioni che hanno al denominatore 10 o una potenza di 10 (con esponente diverso da 0). Esempi: $\frac{3}{10}$; $\frac{3}{100}$; $\frac{5}{1000}$; $\frac{16}{1000}$…]

10. (C) Quali delle seguenti frazioni sono frazioni decimali e quali, invece, sono frazioni ordinarie: $\frac{3}{20}$; $\frac{7}{100}$; $\frac{10}{20}$; $\frac{30}{3000}$?

[Solo $\frac{7}{100}$ è una frazione decimale; infatti solo il denominatore 100 è una potenza di 10. Invece 20 e 3000, denominatori delle altre frazioni, sono multipli di 10 ma non sono sue potenze, pertanto le frazioni da essi formate sono frazioni ordinarie.]

11. (A) Se si esegue la divisione tra il numeratore e il denominatore di una frazione decimale, che numero si ottiene? [

12. (C) Perché, se una frazione, ridotta ai minimi termini, presenta un denominatore i cui numeri primi sono o una potenza di 2 o una potenza di 5 o di entrambi, allora possiamo essere certi che essa rappresenta un numero decimale finito?

[Perché, moltiplicando il numeratore e il denominatore per uno stesso numero (proprietà invariantiva delle frazioni), possiamo ottenere una frazione decimale equivalente a quella data e il cui numeratore non è multiplo del denominatore, e da un tale tipo di frazione decimale si ottiene sempre un numero decimale finito con resto zero.

Esempio 1: $\frac{7}{5}=\frac{7\cdot 20}{5\cdot 20}=\frac{140}{100}$ = 1,4.

Esempio 2: $\frac{9}{4}=\frac{9\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{225}{100}$ = 2,25.

Vediamo meglio. Ogni frazione decimale, il cui numeratore non è multiplo del denominatore, può essere trasformata in un numero decimale finito e senza resto dividendo il numeratore per il denominatore. A sua volta, ogni numero decimale finito può essere trasformato nella sua frazione decimale generatrice moltiplicando e dividendo il numero decimale per una potenza di 10. Se ne deduce che, se una frazione non decimale determina un numero decimale finito, è equivalente a una frazione decimale. Ma, poiché ogni frazione decimale ha come denominatore una potenza di 10 e poiché i fattori primi di 10 sono 2 e 5, anche i fattori primi del denominatore della frazione non decimale, che determina un numero decimale, devono essere o il numero 2 o il numero 5 o entrambi.]

4. NUMERI RAZIONALI RAPPRESENTATI DA NUMERI DECIMALI INFINITI PERIODICI

13. (A) Che cos’è un numero decimale periodico?

[È un numero decimale costituito da cifre decimali che si ripetono all’infinito. Le cifre possono ripetersi singolarmente o per gruppi. La cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete all’infinito dopo la virgola è detta “periodo” ed è soprasegnata; la parte prima della virgola è detta “parte intera”. Esempio 1: 2,666666… (la parte intera è 2; il periodo è 6, e tale numero viene di solito scritto così: 2,6). Esempio 2: 3,42424242…… (la parte intera è 3; il periodo è 42, e tale numero viene di solito scritto così: 3,42).]

14. (B) Quanti e quali tipi di numeri decimali periodici esistono? [

15. (A) Che differenza c’è fra numeri decimali periodici semplici e numeri decimali periodici misti?

[Nei numeri decimali periodici semplici il periodo, cioè le cifre che si ripetono singolarmente o a gruppi all’infinito, è immediatamente dopo la virgola (esempio: 7,23); invece nei numeri periodici misti, subito dopo la virgola e prima del periodo ci sono una o più cifre non periodiche (esempio: 6,548) dette antiperiodo (esempio: in 6,548 l’antiperiodo è 54).]

16. (C) Da quante cifre è costituito il periodo di un numero decimale periodico?

[Sempre da un numero di cifre inferiore al denominatore della frazione ridotta ai minimi termini da cui siamo partiti. Se, per esempio, il denominatore della frazione irriducibile da cui si ottiene un numero periodico è 13, questo comporta che, al massimo dopo 12 resti diversi, si trova una sequenza di resti uguali alla sequenza precedente. Esempio: vogliamo trovare il numero decimale corrispondente a $\frac{25}{7}$. Sappiamo già che le cifre sono meno di 7. Per scoprire quali sono senza usare la calcolatrice, eseguiamo la divisione 25 : 7. Ad ogni passaggio della divisione, il resto deve necessariamente essere un numero inferiore a 7. Vediamo i passaggi: 25 : 7 = 3 con resto di 4. Mettiamo la virgola dopo il 3 e procediamo con l’operazione dividendo 40 (al 4 di resto abbiamo aggiunto uno 0) per 7 e otteniamo 5 con resto di 5. Poi dividiamo 50 (al 5 di resto abbiamo aggiunto uno 0) per 7 e otteniamo 7 con resto di 1. Poi dividiamo 10 (all’1 di resto abbiamo aggiunto uno 0) e otteniamo 1 con resto di 3. E così via fino a quando, dopo sei passaggi, non otteniamo, di nuovo, 3 con resto di 4 e a quel punto le cifre decimali e i resti che seguono si susseguono nella sequenza precedente, ovvero 571428. Pertanto 571428 costituisce il periodo del numero decimale che si ottiene dalla divisione dei due termini della frazione $\frac{25}{7}$ = 3,571428.]

17. (A) Quand’è che dividendo il numeratore di una frazione per il suo denominatore si ottiene un numero decimale periodico?

[Quando il resto non è 0 e i vari resti si ripetono ciclicamente. Esempio: $\frac{28}{11}$ = 2,54. Infatti 28 : 11 = 2 con resto di 6; al 6 aggiungiamo 0 e dividiamo 60 per 11, ottenendo 5 con resto di 5; al 5 di resto aggiungiamo 0 e dividiamo 50 per 11, ottenendo 4 con resto di 6; al 6 di resto aggiungiamo 0 e dividiamo 60 per 11, ottenendo 5 con resto di 5… (come si vede abbiamo ricominciato il ciclo).]

18. (A) Qual è il criterio per stabilire se una frazione genera un numero decimale periodico semplice, senza dividere il numeratore per il denominatore?

[Una frazione genera un numero decimale periodico semplice se, ridotta ai minimi termini, presenta un denominatore che è un numero che, scomposto in fattori primi, non contiene potenze di 2 o di 5. Esempio 1: $\frac{17}{9}$ = 1,8; il denominatore 9 ha come unico fattore primo 3² (cioè un numero che non è né una potenza di 2 né una potenza di 5). Esempio 2: $\frac{56}{21}$ = 2,6; il denominatore 21 ha come fattori primi 3 e 7 (cioè due numeri che non sono né una potenza di 2 né una potenza di 5).]

19. (A) Qual è il criterio per stabilire se una frazione genera un numero decimale periodico misto, senza dividere il numeratore per il denominatore?

[Una frazione genera un numero decimale periodico misto se, ridotta ai minimi termini, presenta un denominatore che è un numero che, scomposto in fattori primi, contiene potenze di 2 o di 5, ma anche di altri numeri. Esempio: possiamo sapere che la frazione $\frac{17}{6}$ genera un numero decimale periodico misto perché è una frazione ridotta ai minimi termini il cui denominatore (6) è un numero che, scomposto in fattori primi (2 e 3), contiene una potenza di 2 (ovvero 2¹) e un numero diverso da 2 e da 5 (ovvero 3). E infatti $\frac{17}{6}$ = 2,83.]

L’argomento “Numeri razionali rappresentati da percentuali” viene affrontato nel capitolo “Percentuali”.