4.9 PROPORZIONI

1. PROPORZIONI

1. (A) Che cos’è una proporzione?

[Un’uguaglianza tra due rapporti. Esempio: i numeri a, b, c, d sono in proporzione se il rapporto tra a e b è uguale al rapporto tra c e d. Si scrive a : b = c : d, e si legge: “a sta a b come c sta a d”. Proprio perché è un’equivalenza (uguaglianza) tra due rapporti, una proporzione si può scrivere anche così: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.]

2. (A) Che cos’è un rapporto?

[Il quoziente tra due numeri a e b, con b ≠ 0.]

3. (A) Che cos’è il rapporto tra a e b in termini di frazioni?

[È la frazione $\frac{a}{b}$. Infatti una frazione è un rapporto.]

4. (A) Che cos’è una proporzione in termini di frazioni?

[Un’uguaglianza tra due frazioni equivalenti. Esempio: poiché la frazione $\frac{3}{6}$ è equivalente alla frazione $\frac{4}{8}$, la proporzione 3 : 6 = 4 : 8 è vera.]

5. (A) Data la proporzione a : b = c : d, quali sono, rispettivamente, i termini estremi, i termini medi, gli antecedenti, i conseguenti?

[Termini estremi: a e d; termini medi: b e c; antecedenti: a e c; conseguenti: b e d.]

6. (C) Data la proporzione 5 : 10 = 3 : 6, quali sono gli estremi, i medi, gli antecedenti e i conseguenti?

[Gli estremi sono 5 e 6; i medi sono 10 e 3; gli antecedenti sono 5 e 3; i conseguenti sono 10 e 6.]

7. (B) Che cos’è una proporzione continua?

[Una proporzione in cui i medi sono uguali. Esempio: 6 : 12 = 12 : 24.]

8. (B) In una proporzione continua, come sono detti i termini medi?

[Medi proporzionali. Esempio: nella proporzione 6 : 12 = 12 : 24, 12 è il termine medio proporzionale.]

2. PROPRIETÀ DELLE PROPORZIONI

1. PROPRIETÀ FONDAMENTALE

9. (A) Qual è la proprietà fondamentale delle proporzioni?

[In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Data la proporzione a : b = c : d, per la proprietà fondamentale vale che a · d = b · c. Vale anche il contrario: se a · d = b · c, allora la proporzione a : b = c : d è vera.]

10. (B) La proprietà fondamentale delle proporzioni ha a che fare con il prodotto in croce?

[Sì, il prodotto dei medi e il prodotto degli estremi è il prodotto in croce; nelle frazioni equivalenti, come sappiamo, tali prodotti sono uguali e la proprietà fondamentale delle proporzioni lo conferma.]

11. (A) Quali sono le proprietà delle proporzioni, oltre alla proprietà fondamentale?

2.2 PROPRIETÀ DELL’INVERTIRE

12. (A) Che cosa afferma la proprietà dell’invertire delle proporzioni?

[Scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene una nuova proporzione. Data la proporzione a : b = c : d, per la proprietà dell’invertire, vale: b : a = d : c. Esempio: data la proporzione 5 : 10 = 3 : 6, per la proprietà dell’invertire, vale: 10 : 5 = 6 : 3.]

13. (C) In base alla proprietà dell’invertire, come diventa la proporzione 9 : 27 = 7 : 21?

[27 : 9 = 21 : 7.]

2.3 PROPRIETÀ DEL PERMUTARE

14. (A) Che cosa afferma la proprietà del permutare delle proporzioni?

[Scambiando tra loro i medi oppure gli estremi, si ottiene una nuova proporzione. Data la proporzione a : b = c : d, per la proprietà del permutare, vale: a : c = b : d oppure anche d : b = c : a. Esempio: data la proporzione 5 : 10 = 3 : 6, per la proprietà del permutare, vale: 5 : 3 = 10 : 6 e anche 6 : 10 = 3 : 5.]

15. (C) In base alla proprietà del permutare, come diventa la proporzione 9 : 27 = 7 : 21?

[9 : 7 = 27 : 21 oppure anche 21 : 27 = 7 : 9.]

4. PROPRIETÀ DEL COMPORRE

16. (A) Che cosa afferma la proprietà del comporre delle proporzioni?

[In una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto). Data la proporzione a : b = c : d, per la proprietà del comporre, vale: (a + b) : a = (c + d) : c oppure anche (a + b) : b = (c + d) : d. Esempio: data la proporzione 5 : 10 = 3 : 6, per la proprietà del comporre, vale: (5 + 10) : 5 = (3 + 6) : 3 e anche (5 + 10) : 10 = (3 + 6) : 6.]

17. (C) In base alla proprietà del comporre, come diventa la proporzione 9 : 27 = 7 : 21?

[(9 + 27) : 9 = (7 + 21) : 7 oppure anche (9 + 27) : 27 = (7 + 21) : 21.]

5. PROPRIETÀ DELLO SCOMPORRE

18. (A) Che cosa afferma la proprietà dello scomporre delle proporzioni?

[In una proporzione, la differenza tra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto). Data la proporzione a : b = c : d, per la proprietà dello scomporre, vale: (a − b) : a = (c − d) : c oppure anche (a − b) : b = (c − d) : d. Esempio: data la proporzione 5 : 10 = 3 : 6, per la proprietà dello scomporre, vale: (5 − 10) : 5 = (3 − 6) : 3 e anche (5 − 10) : 10 = (3 − 6) : 6.]

19. (C) In base alla proprietà dello scomporre, come diventa la proporzione 9 : 27 = 7 : 21?

[(9 − 27) : 9 = (7 − 21) : 7 oppure anche (9 − 27) : 27 = (7 − 21) : 21.]

6. CALCOLARE IL VALORE DELLA X IN UNA PROPORZIONE

20. (B) Come si fa a calcolare il valore dell’incognita x nella seguente proporzione: 12 : 8 = 48 : x?

[Si applica la proprietà fondamentale: 12 : 8 = 48 : x → 12 · x = 8 · 48 → $x=\frac{8\cdot 48}{12}=32$.]

21. (B) Come si fa a calcolare il valore dell’incognita x nella seguente proporzione: 8 : x = x : 32?

[Poiché, per la proprietà fondamentale il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi, se il prodotto degli estremi è 256 (infatti 8 · 32 = 256), anche il prodotto dei medi x · x deve essere 256, ma x · x è uguale a x², quindi per conoscere il valore di x basta estrarre la radice quadrata di 256: $x=\sqrt{256}=16$.]

22. (B) Come si fa a calcolare il valore dell’incognita x nella seguente proporzione: 65 : 5 = (x + 72) : x?

[Si applica la proprietà dello scomporre per eliminare la x all’interno della parentesi e poi la proprietà fondamentale per determinare il valore di x. Ecco i passaggi:

65 : 5 = (x + 72) : x → (65 − 5) : 5 = (x + 72 − x) : x (proprietà dello scomporre)

→ 60 : 5 = 72 : x → 60 · x = 5 · 72 (proprietà fondamentale) → $x=\frac{5\cdot 72}{60}=6$.

Quindi la proporzione iniziale diventa: 60 : 5 = 72 : 6.]