3.10 POTENZE CON ESPONENTE RAZIONALE

1. (A) Quali sono degli esempi di potenze con esponente razionale?

[$5^{\frac{2}{3}}$, $6^{\frac{1}{3}}$, ${11}^{\frac{3}{4}}$…]

2. (A) Come viene definita in termini di radicali la potenza di un numero reale a ≥ 0 (cioè di un numero reale positivo o nullo) con esponente razionale $\frac{m}{n}$ con m e n numeri naturali e n ≠ 0: $a^{\frac{m}{n}}$?

[Come la radice n-esima di $a^m$: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ con a ≥ 0.

Esempio: $5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}$.]

3. (B) Come si può scrivere la seguente potenza ${13}^{\frac{7}{4}}$ in forma di radicale?

[${13}^{\frac{7}{4}}=\sqrt[4]{{13}^7}$.]

4. (B) Come si può riscrivere in forma di radicale e poi semplificare la seguente potenza: $1^{\frac{2}{5}}$?

[$1^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{1^2}=1$.]

5. (A) Come si può scrivere la seguente potenza ${(-5)}^{\frac{3}{4}}$ in forma di radicale?

[Non è possibile perché la base −5 è un numero reale negativo.]

6. (A) Come può essere trasformata in forma di radicale una potenza con esponente razionale negativo del tipo $a^{-\frac{m}{n}}$ con a > 0 (cioè con numero reale positivo) e con m e n numeri naturali e n ≠ 0?

[$a^{-\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{{\left(\frac{1}{a}\right)}^m}$.

Esempio: $5^{-\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{1}{5}\right)}^3}$.]

7. (B) Come si può mettere in forma di radicale la seguente potenza con esponente razionale negativo: $7^{-\frac{8}{3}}$?

[$7^{-\frac{8}{3}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{1}{7}\right)}^8}$.]

8. (B) Come si può trasformare in radicale la seguente potenza con esponente razionale negativo: ${\frac{4}{5}}^{-\frac{3}{7}}$?

[${\frac{4}{5}}^{-\frac{3}{7}}=\sqrt[7]{{\left(\frac{5}{4}\right)}^3}$.]