3.9 RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE

1. ESPRESSIONI IRRAZIONALI

1. (A) Che cosa sono le espressioni irrazionali?

[Le espressioni, numeriche o letterali, in cui sono presenti radicali.]

2. (B) Le operazioni con espressioni irrazionali (cioè le operazioni tra radicali) godono delle proprietà che le stesse operazioni hanno in ℝ?

[Sì, quindi oltre alle regole del calcolo specifiche dei radicali studiate in questa lezione, si possono applicare: la proprietà distributiva, le regole dei prodotti notevoli ecc.]

2. RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE

3. (A) Che cosa significa razionalizzare il denominatore di una frazione?

[Trasformare la frazione in una equivalente che non ha radicali al denominatore, ma solo numeri razionali.]

4. (A) In generale, come si fa a razionalizzare una frazione?

[Si applica la proprietà invariantiva delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatore per uno stesso fattore. Qui di seguito esaminiamo i casi più comuni.]

2.1 RAZIONALIZZAZIONE QUANDO IL DENOMINATORE È UN UNICO RADICALE

5. (A) Come si fa a razionalizzare una frazione che al denominatore contiene un unico radicale e tale radicale è quadratico (è una radice quadrata), per esempio: $\frac{8}{\sqrt{2}}$?

[Basta moltiplicare il numeratore e il denominatore per $\sqrt{2}$: $\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{4}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$. Come si può vedere, è stato possibile eliminare il radicale al denominatore perché, moltiplicandolo per se stesso, abbiamo ottenuto un radicale ($\sqrt{4}$) che ha un radicando (4) che è un quadrato perfetto ($2^2$), quindi abbiamo potuto compiere questi passaggi: $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$.]

6. (A) Come si fa a razionalizzare una frazione che al denominatore contiene un unico radicale e tale radicale non è quadratico ma ha un indice maggiore di 2, per esempio: $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$?

[Bisogna moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per un radicale che ha lo stesso indice del radicale dato e per esponente del radicando la differenza tra l’indice del radicale e l’esponente del radicando dato: $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3-1}}}{\sqrt[3]{2^{3-1}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}}=\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^3}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$. In questo modo abbiamo ottenuto un cubo perfetto $2^3$ cioè 8 come radicando della radice cubica e quindi abbiamo potuto eliminare la radice: $\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2$.]

7. (B) Qual è la razionalizzazione di $\frac{5}{\sqrt[4]{2^3}}$?

[$\frac{5\sqrt[4]{2}}{2}$. Questo risultato si ottiene così: $\frac{5}{\sqrt[4]{2^3}}=\frac{5}{\sqrt[4]{2^3}}\cdot \frac{\sqrt[4]{2^{4-3}}}{\sqrt[4]{2^{4-3}}}=\frac{5}{\sqrt[4]{2^3}}\cdot \frac{\sqrt[4]{2^1}}{\sqrt[4]{2^1}}=\frac{5\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{2^4}}=\frac{5\sqrt[4]{2}}{2}$.]

2.2 RAZIONALIZZAZIONE QUANDO IL DENOMINATORE È LA SOMMA O LA DIFFERENZA DI DUE RADICALI QUADRATICI

8. (A) Come si fa a razionalizzare una frazione che al denominatore contiene la somma di due radicali quadratici, tipo $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$?

[Bisogna moltiplicare il denominatore per la differenza $\sqrt{5}-\sqrt{3}$, in modo da applicare al denominatore il prodotto notevole: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Nel caso in esame la razionalizzazione avviene così: $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$.]

9. (B) Qual è la razionalizzazione di $\frac{10}{\sqrt{13}-\sqrt{8}}$?

[$2(\sqrt{13}+\sqrt{8})$. Questo risultato si ottiene moltiplicando il numeratore e il denominatore per $(\sqrt{13}+\sqrt{8})$ e più precisamente così: $\frac{10}{\sqrt{13}-\sqrt{8}}=\frac{10}{\sqrt{13}-\sqrt{8}}\cdot \frac{\sqrt{13}+\sqrt{8}}{\sqrt{13}+\sqrt{8}}=\frac{10(\sqrt{13}+\sqrt{8})}{{\left(\sqrt{13}\right)}^2-{\left(\sqrt{8}\right)}^2}=\frac{10(\sqrt{13}+\sqrt{8})}{13-8}=\frac{10(\sqrt{13}+\sqrt{8})}{5}=2(\sqrt{13}+\sqrt{8})$.]

2.3 RAZIONALIZZAZIONE QUANDO IL DENOMINATORE È LA SOMMA O LA DIFFERENZA DI DUE RADICALI CUBICI

10. (B) Come si fa a razionalizzare una frazione che al denominatore contiene la differenza di due radicali cubici, tipo $\frac{1}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3}}$?

[Bisogna moltiplicare numeratore e denominatore per $(\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2})$, in modo da applicare al denominatore la relazione: $a^3-b^3=(a-b)\cdot (a^2+ab+b^2)$. Infatti se sostituiamo a con $\sqrt[3]{a}$ e b con $\sqrt[3]{b}$ otteniamo: $a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})\cdot (\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a\cdot b}+\sqrt[3]{b^2})$ che è equivalente a $a^3-b^3=(a-b)\cdot (a^2+ab+b^2)$. Ecco i passaggi della razionalizzazione di $\frac{1}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3}}$: $\frac{1}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{(\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2})}{(\sqrt[3]{5^2}+\sqrt[3]{5\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2})}=\frac{(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9})}{2}$.]