3.8 ADDIZIONE E SOTTRAZIONE DI RADICALI

1. (B) È sempre possibile semplificare espressioni che contengono somme o differenze di radicali?

[Non sempre. Esempio con l’addizione: consideriamo $\sqrt{9}+\sqrt{16}$; non è possibile trasformarla in $\sqrt{9+16}$. Infatti, $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$, mentre $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Esempio con la sottrazione: consideriamo $\sqrt{25}-\sqrt{16}$; non è possibile trasformarla in $\sqrt{25-16}$. Infatti, $\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1$, mentre $\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$.]

2. (A) In quali casi è possibile semplificare espressioni che contengono somme o differenze di radicali?

[Quando i radicali sono simili.]

1. RADICALI SIMILI

3. (A) Quand’è che due radicali si dicono simili?

[Quando hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. Esempi: $\sqrt[3]{7}$ e $\sqrt[3]{7}$; $\sqrt[5]{a}$ e $\sqrt[5]{a}$.]

4. (A) In che cosa si possono differenziare due radicali simili?

[Solo per il fattore esterno.

Esempio 1: $5\sqrt[3]{7}$ e $4\sqrt[3]{7}$ sono simili perché hanno lo stesso indice e lo stesso radicando; differiscono solo per i fattori esterni 5 e 4.

Esempio 2: $3\sqrt[5]{a}$ e $2\sqrt[5]{a}$ sono simili perché hanno lo stesso indice e lo stesso radicando; differiscono solo per i fattori esterni 3 e 2.]

5. (A) Com’è detto il fattore esterno di un radicale?

[Coefficiente del radicale. Esempio 1: il coefficiente di $5\sqrt[3]{7}$ è 5. Esempio 2: il coefficiente di $2\sqrt[5]{a}$ è 2.]

2. SOMMA ALGEBRICA DI RADICALI SIMILI

6. (A) Com’è la somma algebrica di due o più radicali simili?

[È un radicale simile a quelli dati, il cui coefficiente è uguale alla somma algebrica dei loro coefficienti. Esempio 1: $5\sqrt[3]{7}+4\sqrt[3]{7}=9\sqrt[3]{7}$. Esempio 2: $6\sqrt[5]{a}-2\sqrt[5]{a}=4\sqrt[5]{a}$.]

7. (C) Qual è la somma algebrica di $8\sqrt[6]{11}+4\sqrt[6]{11}$?

[$12\sqrt[6]{11}$.]

8. (C) Com’è la somma algebrica di $8\sqrt[6]{11}-4\sqrt[6]{11}$?

[$4\sqrt[6]{11}$.]

9. (B) Com’è la somma algebrica di $5\sqrt[6]{11}+5\sqrt[4]{11}$?

[Non è possibile perché i due radicali non sono simili, in quanto hanno indici diversi (6 il primo, 4 il secondo).]

10. (B) Qual è la somma algebrica di $2\sqrt{7}-\frac{2}{3}\sqrt{7}-\frac{1}{2}\sqrt{7}$?

[$\frac{5}{6}\sqrt{7}$. Tale risultato si ottiene così: $2\sqrt{7}-\frac{2}{3}\sqrt{7}-\frac{1}{2}\sqrt{7}=\left(\frac{12-4-3}{6}\right)\sqrt{7}=\frac{5}{6}\sqrt{7}$.]

11. (B) Qual è la somma algebrica di $4\sqrt[6]{a}+3\sqrt[6]{a}$ con a ≥ 0?

[$7\sqrt[6]{a}$.]

3. SOMMA ALGEBRICA DI RADICALI NON SIMILI TRASFORMATI IN RADICALI SIMILI

12. (A) È possibile fare la somma algebrica di radicali non simili?

[Solo se è possibile trasformarli in radicali simili. Esempio: $5\sqrt{3}+\sqrt{12}$ non è immediatamente risolvibile, ma $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$. Pertanto: $5\sqrt{3}+2\sqrt{3}=7\sqrt{3}$.]

13. (B) Qual è la somma algebrica di $\sqrt{2}+\sqrt{18}$?

[$4\sqrt{2}$. Infatti: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$; quindi $\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.]

14. (B) Qual è la somma algebrica di $\sqrt{a^3}+\sqrt{a}$?

[$(a+1)\sqrt{a}$, con a ≥ 0. Infatti: $\sqrt{a^3}+\sqrt{a}=a\sqrt{a}+\sqrt{a}=(a+1)\sqrt{a}$.]