3.7 RADICE DI UN RADICALE

1. (A) Com’è la radice n-esima di un radicale di indice m, con radicando positivo o nullo?

[È una radice che ha per indice il prodotto degli indici (n ⋅ m) e per radicando lo stesso radicando: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$, con n e m numeri naturali, n ≠ 0, m ≠ 0 e a reale, a ≥ 0.

Esempio: $\sqrt[3]{\sqrt[4]{5}}=\sqrt[3\cdot 4]{5}=\sqrt[12]{5}$.]

2. (B) Qual è il risultato della seguente estrazione di radice di un radicale: $\sqrt[7]{\sqrt[3]{8}}$?

[$\sqrt[21]{8}$.]

3. (B) Qual è il risultato della seguente estrazione di radice di un radicale: $\sqrt[3]{\sqrt[6]{a}}$?

[$\sqrt[18]{a}$, con a ≥ 0.]

4. (A) Qual è il risultato della seguente estrazione di radice di un radicale: $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^5}}$?

[$\sqrt[3]{a}$. Abbiamo diviso per 5 sia l’esponente del radicando sia l’indice della radice più esterna.]

5. (B) Perché è possibile semplificare la seguente radice di un radicale $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^5}}$ nel seguente radicale $\sqrt[3]{a}$?

[Perché, per la proprietà commutativa della moltiplicazione, è possibile scambiare gli indici delle due radici senza che il prodotto cambi: $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^5}}=\sqrt[5\cdot 3]{a^5}=\sqrt[3\cdot 5]{a^5}=\sqrt[3]{\sqrt[5]{a^5}}=\sqrt[3]{a}$.]

6. (B) Come si può semplificare la seguente estrazione di radice di un radicale: $\sqrt[4]{\sqrt[7]{a^4}}$?

[$\sqrt[7]{\left|a\right|}$. Se si pone a ≥ 0, il risultato può essere scritto anche come $\sqrt[7]{a}$.]

7. (A) Abbiamo detto che la radice n-esima di un radicale di indice m, con radicando positivo o nullo, è una radice che ha per indice il prodotto degli indici (n ⋅ m) e per radicando lo stesso radicando; questo vale anche nel caso in cui il radicando sia negativo (cioè per a < 0)?

[Solo se entrambi gli indici (n e m) sono dispari.

Esempio: $\sqrt[3]{\sqrt[5]{-a}}=-\sqrt[15]{a}$.]

8. (B) Come si può semplificare la seguente estrazione di radice di un radicale: $\sqrt[3]{\sqrt[7]{-13}}$?

[$-\sqrt[21]{13}$.]

9. (B) Come si può semplificare la seguente estrazione di radice di un radicale: $\sqrt[4]{\sqrt[3]{-2}}$?

[Non è possibile, perché l’indice di una delle due radici è pari (4).]