3.8 POTENZE IN ℤ

1. POTENZA DI UN NUMERO INTERO CON ESPONENTE POSITIVO

1. (A) Com’è la potenza di un numero intero con esponente positivo (cioè con un esponente che, in sostanza, è un numero naturale)? [

2. (B) Perché la potenza di un numero negativo, se l’esponente è pari, è un numero positivo, mentre se l’esponente è dispari, è un numero negativo?

[Perché una potenza è uguale al prodotto della base moltiplicata per se stessa un numero di volte pari al valore dell’esponente e, come sappiamo, in una moltiplicazione, se i numeri negativi sono pari, il prodotto è positivo, se sono dispari, il prodotto è negativo. Esempio con esponente pari: ${(-2)}^{+4}=+16$. La potenza ${(-2)}^{+4}$ se viene ridotta a una moltiplicazione è uguale a $(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)$. Proviamo a svolgerla partendo dai primi due fattori: $(-2)\times (-2)=+4$; +4 va poi moltiplicato per il terzo fattore $(-2)$ e abbiamo $+4\times (-2)=-8$, perché la moltiplicazione tra due fattori discordi dà come risultato un prodotto negativo; infine, −8 va moltiplicato per il quarto fattore $(-2)$ e abbiamo $-8\times (-2)=-16$, perché la moltiplicazione tra due fattori concordi dà come risultato un prodotto positivo. Esempio con esponente dispari: ${(-2)}^{+3}=-8$. La potenza ${(-2)}^{+3}$ se viene ridotta a una moltiplicazione è uguale a $(-2)\times (-2)\times (-2)$. Proviamo a svolgerla partendo dai primi due fattori: $(-2)\times (-2)=+4$; +4 va poi moltiplicato per il terzo fattore $(-2)$ e abbiamo $+4\times (-2)=-8$, perché la moltiplicazione tra due fattori discordi dà come risultato un prodotto negativo.]

2. ATTENZIONE ALLE PARENTESI!

3. (A) Prendiamo una potenza che ha per base un numero negativo scritto tra parentesi, per esempio ${(-3)}^2$, per semplificare possiamo scriverlo senza parentesi, così: $-3^2$?

[No, perché, senza le parentesi, l’esponente va applicato solo al valore assoluto del numero, pertanto il segno della base rimane inalterato.]

4. (B) A quanto equivalgono rispettivamente: ${(-3)}^2$ e $-3^2$?

[${(-3)}^2$ = +9; mentre $-3^2$ = −9. Infatti ${(-3)}^2=(-3)\times (-3)=+9$; mentre $-3^2=-(3\times 3)=-9$.]

3. PROPRIETÀ DELLE POTENZE DI NUMERI INTERI

5. (A) In generale, le proprietà delle potenze di numeri interi sono le stesse proprietà delle potenze di numeri naturali?

[Sì, non c’è alcuna differenza.]

3.1 PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA BASE

6. (A) Qual è il prodotto della seguente moltiplicazione tra potenze con la stessa base: ${(-5)}^3\times {(-5)}^4$?

[${(-5)}^7$: una potenza che ha la stessa base e, come esponente, la somma degli esponenti.]

3.2 QUOZIENTE DI POTENZE CON LA STESSA BASE

7. (A) Qual è il quoziente della seguente divisione tra potenze con la stessa base: ${(-7)}^5:{(-7)}^2$?

[${(-7)}^3$: è una potenza che ha la stessa base e, come esponente, la differenza degli esponenti.]

3.3 POTENZA DI POTENZA

8. (A) Qual è la soluzione della seguente potenza di potenza: ${\left[{(-7)}^5\right]}^2$?

[${(-7)}^{10}$: è una potenza che ha la stessa base di partenza e per esponente il prodotto degli esponenti.]

3.4 PRODOTTO DI POTENZE CON UGUALE ESPONENTE

9. (A) Qual è il prodotto di queste due potenze con uguale esponente: ${(-5)}^4\times {(+3)}^4$?

[${(-15)}^4$: è una potenza che ha come base il prodotto delle basi e, come esponente, lo stesso esponente.]

3.5 QUOZIENTE DI POTENZE CON UGUALE ESPONENTE

10. (A) Qual è il quoziente di due potenze di numeri interi con uguale esponente?

[Una potenza che ha, come base, il quoziente delle basi e, come esponente, lo stesso esponente, esattamente come nel caso dei numeri naturali. Esempio: ${(-15)}^4:{(+3)}^4={(-5)}^4$.]

4. POTENZE PARTICOLARI

11. (B) Qual è la soluzione di questa potenza: ${(+3)}^1$?

[+3.]

12. (B) Qual è la soluzione di questa potenza: ${(-3)}^1$?

[−3.]

13. (A) Qual è la soluzione di questa potenza: ${(-3)}^0$?

[+1.]

14. (A) Qual è la soluzione di questa potenza: ${(+3)}^0$?

[+1.]

15. (C) Qual è la soluzione di questa potenza: $0^0$?

[È indeterminata.]

16. (B) Qual è la soluzione di questa potenza: $0^3$?

[0.]

In questo capitolo non ci siamo occupati di potenze con esponente intero negativo, perché tali potenze hanno come risultato numeri razionali che non abbiamo ancora trattato.