3.7 DIVISIONE IN ℤ
1. QUOZIENTE DI NUMERI INTERI
1. (A) Qual è il quoziente della divisione di due numeri interi?
[Il quoziente è un numero intero che ha, per valore assoluto, il quoziente dei valori assoluti dei due termini e, per segno, il segno + se i due termini sono concordi, e il segno − se i due termini sono discordi.
Esempio 1: (+15) : (+3) = +5.
Esempio 2: (−15) : (−3) = +5.
Esempio 3: (+15) : (−3) = −5.
Esempio 4: (−15) : (+3) = −5.]
2. (A) Nella divisione di numeri interi i segni dei quozienti seguono la stessa regola di quale altra operazione tra numeri interi?
[Della moltiplicazione: il quoziente è positivo se entrambi i termini sono concordi; il quoziente è negativo se i due termini sono discordi.]
3. (B) Perché il quoziente tra due numeri interi relativi è un numero che ha per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti dei due termini e, per segno, il segno + se i due termini sono concordi, e il segno − se i due termini sono discordi? [
Perché, come per i numeri naturali, il quoziente dei numeri interi relativi è quel numero che, moltiplicato per il divisore (cioè per il secondo termine della divisione), dà come risultato il dividendo (cioè il primo termine della divisione). Quindi:
- a) (+18) : (+3) = +6 perché (+6) × (+3) = +18;
- b) (−18) : (−3) = +6 perché (+6) × (−3) = −18;
- c) (+18) : (−3) = −6 perché (−6) × (−3) = +18;
- d) (−18) : (+3) = −6 perché (−6) × (+3) = −18.]
4. (B) Come si può ottenere un quoziente positivo, come +3?
[Dividendo due numeri interi concordi, non importa se entrambi positivi o entrambi negativi.
Esempio: +3 si può ottenere dividendo +12 per +4 oppure dividendo −12 per −4, o in infiniti altri modi, ma sempre dividendo un numero positivo per un altro positivo oppure un numero negativo per un altro negativo.]
5. (B) Come si può ottenere un quoziente negativo, come −3?
[Dividendo due numeri interi discordi.
Esempio: −3 si può ottenere dividendo +15 per −5 oppure dividendo −12 per +4, o in infiniti altri modi, ma sempre dividendo un numero positivo per uno negativo oppure un numero negativo per uno positivo.]
2. PROPRIETÀ DELLA DIVISIONE TRA INTERI
6. (A) Quali sono le proprietà della divisione tra numeri interi?
[La proprietà invariantiva e la proprietà distributiva a destra rispetto all’addizione algebrica.]
7. (A) Che cosa afferma la proprietà invariantiva della divisione tra numeri interi?
[Che, se si moltiplicano (o si dividono) il dividendo e il divisore di una divisione per uno stesso numero intero, diverso da 0, il quoziente non cambia.
Esempi: prendiamo (−30) : (+6) = −5 e dividiamo il dividendo e il divisore per +3 e vediamo che il risultato non cambia: [(−30) : (+3)] : [(+6) : (+3)] = (−10) : (+2) = −5.
Oppure moltiplichiamo il dividendo e il divisore per −2 e, anche in questo caso, vediamo che il risultato non cambia: [(−30) × (−2)] : [(+6) × (−2)] = (+60) : (−12) = −5.]
8. (C) Quale espressione si ottiene applicando la proprietà distributiva alla seguente divisione tra numeri interi: (+24) : (−6 + 2)?
[Non si può applicare la proprietà distributiva a sinistra. Infatti, se svolgiamo la divisione posta nella domanda abbiamo: (+24) : (−6 + 2) = 24 : (−4) = −6; ma se proviamo ad applicare la proprietà distributiva a sinistra, otteniamo un risultato diverso: (+24) : (−6 + 2) = (+24) : (−6) + (+24) : (+2) = −4 + 12 = 8.]
9. (B) Le proprietà della divisione tra numeri interi sono le stesse proprietà della divisione tra numeri naturali?
[Sì: proprietà invariantiva e proprietà distributiva a destra.]
10. (A) La divisione tra numeri interi è un’operazione interna all’insieme ℤ?
[No, analogamente alla divisione tra numeri naturali che non è un’operazione interna all’insieme ℕ.
Esempio: (10) : (−3) = , che non è un numero intero.]
3. LO ZERO NELLA DIVISIONE TRA INTERI
11. (A) Qual è il quoziente di una divisione in cui il dividendo è uguale a zero e il divisore è un numero intero diverso da zero: 0 : a?
[0.
Esempi: 0 : (+7) = 0; 0 : (−5) = 0.]
12. (A) Qual è il quoziente di una divisione in cui il dividendo è un numero intero diverso da zero e il divisore è uguale a zero: a : 0?
[La divisione è impossibile (quindi non c’è nessun quoziente), perché non esiste alcun numero che, moltiplicato per 0, dia un numero intero relativo diverso da 0.]
13. (B) Qual è il quoziente di una divisione in cui sia il dividendo che il divisore sono uguali a zero: 0 : 0?
[La divisione è indeterminata, può avere infiniti risultati, perché infiniti sono i numeri che moltiplicati per zero danno come risultato zero.]