2.3 SISTEMI DI NUMERAZIONE CON BASE DIVERSA DA 10 E PASSAGGI DI BASE

1. SISTEMI DI NUMERAZIONE CON BASE DIVERSA DA 10

1. (A) Esistono sistemi di numerazione con base diversa da 10?

[Sì, in teoria si possono creare infiniti sistemi con base diversa da 10: un sistema con base 2, un sistema con base 3, un sistema con base 4…]

2. (B) Com’è detto il sistema numerico con base 2?

[Sistema binario.]

3. (A) Quante e quali sono le cifre di un sistema numerico di base n diversa da 10?

[Sono n e vanno da 0 a n − 1.

Esempio 1: nel sistema numerico in base 2 (binario), le cifre sono due e sono 0 e 1.

Esempio 2: nel sistema numerico in base 3, le cifre sono tre: 0, 1, 2.

Esempio 3: nel sistema numerico in base 4, le cifre sono quattro: 0, 1, 2, 3.]

4. (C) Quante e quali sono le cifre del sistema numerico in base 7?

[Sono le seguenti sette cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.]

5. (A) In un sistema numerico in base n, come si rappresenta il numero n stesso?

[Con 10 (che si legge: “uno, zero”, e (attenzione!) non “dieci”).

Esempio 1: nel sistema numerico in base 2, il 2 è rappresentato con 10.

Esempio 2: nel sistema numerico in base 3, il 3 è rappresentato con 10.

Esempio 3: nel sistema numerico in base 4, il 4 è rappresentato con 10.]

6. (C) Come si rappresenta il numero 8 nel sistema numerico di base 8?

[Con 10 (leggi: uno, zero).]

7. (B) Perché in un sistema in base n, il numero n viene rappresentato con 10, indipendentemente da quale è questo numero?

[Perché non esiste una cifra specifica per n, e 1 sta a indicare che n viene considerato una sola volta e 0 sta a indicare che non ci sono altre unità da aggiungere.

Esempio: nel sistema numerico in base 4, il 4 è rappresentato con 10, perché 1 sta a indicare che 4 viene considerato una sola volta, e 0 sta a indicare che non devono essere aggiunte altre unità.]

8. (B) Che cosa indica 11, rispettivamente, nel sistema numerico di base 2, nel sistema numerico di base 3, nel sistema numerico di base 4?

[Nel sistema numerico di base 2, 11 indica 3 (e cioè 2, considerato una sola volta, più una unità); nel sistema numerico di base 3, 11 indica 4 (e cioè 3, considerato una sola volta, più una unità); nel sistema numerico di base 4, 11 indica 5 (e cioè 4, considerato una sola volta, più una unità). In sostanza, il primo 1 di 11 ci dice “considera la base una volta sola” e il secondo 1 di 11 ci dice “aggiungici una unità”.]

9. (C) Che cosa indica 11, nel sistema numerico di base 8, nei termini del sistema decimale?

[9. Infatti l’1 a sinistra indica quello che nel sistema decimale è l’8, l’1 a destra indica 1 unità.]

10. (B) Come si indicano i numeri 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 nel sistema numerico con base 5?

[6 = 11; 7 = 12; 8 = 13; 9 = 14; 10 = 20; 11 = 21; 12 = 22.

]

11. (C) Perché il 10 viene rappresentato con 20 nel sistema numerico con base 5?

[Perché la cifra 2 sta a indicare 2 volte 5, e 0 sta a indicare che non ci sono unità da aggiungere.]

12. (B) Che cosa indica 100 nel sistema numerico con base n?

[$n^2$.

Esempio 1: nel sistema numerico di base 2, 100 indica $2^2$, cioè 4.

Esempio 2: nel sistema numerico di base 3, 100 indica $3^2$, cioè 9.

Esempio 3: nel sistema numerico di base 4, 100 indica $4^2$, cioè 16.]

13. (C) Che cosa indica 100 nel sistema numerico con base 5?

[$5^2$, cioè 25.]

14. (C) Come si indica il numero 26 nel sistema numerico con base 5?

[Con 101. Infatti, 100, come abbiamo visto sopra, si riferisce a 25, l’1 finale è l’unità che va aggiunto a 25 per avere 26.]

15. (B) Come si indica, di solito, un numero scritto in una base b?

[Si scrive a pedice del numero la parola che indica la base.

Esempio 1: 583_quattro è un numero con base quattro.

Esempio 2: 68_cinque è un numero con base cinque.]

16. (B) Quali cifre si usano in un sistema numerico con base superiore a 10 (dieci)?

[Le 10 cifre del sistema numerico decimale (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) più le lettere maiuscole dell’alfabeto: A; B; C…

Esempio 1: se il sistema numerico è a base 11, le sue cifre sono 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A.

Esempio 2: se il sistema numerico è a base 12, le sue cifre sono 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B.]

2. PASSAGGIO DA UN SISTEMA NON DECIMALE AL SISTEMA DECIMALE

17. (B) Dato un numero espresso in un sistema non decimale, come si fa ad ottenere l’equivalente di quel numero espresso nel sistema decimale?

[Si scrive il numero in forma polinomiale e si eseguono i calcoli.

Esempio: ${213}_{\text{quattro}}=2·4^2+1·4^1+3·4^0=2·16+1·4+3·1=32+4+3=39$. Quindi 213 in base 4 corrisponde a 39 in base 10.]

18. (C) Qual è l’equivalente del numero 3142_cinque nel sistema decimale?

[422. Tale numero si ottiene così:

$${3142}_{\text{cinque}}=$$

$$3·5^3+1·5^2+4·5^1+2·5^0=$$

$$3·125+1·25+4·5+2·1=$$

$$375+25+20+2=422$$.]

19. (C) Perché 100 nel sistema numerico in base 5 corrisponde a $5^2$, cioè a 25, nel sistema in base 10?

[Perché 100_cinque in forma polinomiale è $1·5^2+0·5^1+0·5^0$, che, svolgendo i calcoli, diventa 1 · 25 + 0 · 5 + 0 · 1 = 25 + 0 + 0 = 25.]

3. PASSAGGIO DAL SISTEMA DECIMALE A UN SISTEMA NON DECIMALE

20. (B) Come si fa a trasformare un numero n in base 10 in un numero in una base b diversa da 10? [

21. (B) Una volta che si è giunti all’ultimo quoziente, qual è il numero cercato?

[È il numero costituito dalle seguenti cifre (da sinistra a destra): l’ultimo quoziente e la sequenza dei resti dal basso verso l’alto.

Esempio: nell’esempio precedente, in cui 327 in base 10 doveva essere trasformato nell’equivalente numero in base 5, il numero cercato è 2302, dove il primo 2 a partire da sinistra è l’ultimo quoziente, gli altri numeri sono i resti, dal basso verso l’alto, delle varie divisioni effettuate (3, 0, 2). Per verificare che questo sia il risultato corretto, basta scrivere 2302 in forma polinomiale ed eseguire i calcoli: $2302=2·5^3+3·5^2+0·5^1+2·5^0=2·125+3·25+0·5+2·1=250+75+0+2=327$, che è, appunto, il numero in base 10 da cui siamo partiti.]

Tabella che rappresenta come vengono espressi i numeri da 1 a 11 nei sistemi in base 2, 3, 4, 5: