3.1 INSIEME ℤ: DEFINIZIONE E SOTTOINSIEMI

Questa lezione riprende in parte la lezione “Numeri relativi” del corso Introduzione all’algebra.

1. DEFINIZIONE DI INSIEME ℤ

1. (A) Che cos’è l’insieme ℤ?

[È l’insieme dei numeri interi. Il simbolo ℤ deriva dall’iniziale della parola tedesca Zahl che significa “numero”.]

2. (A) Che cosa sono i numeri interi?

[I numeri che possono essere scritti in maniera esatta (cioè non approssimata) senza l’utilizzo di cifre decimali diverse dallo 0 (esempio: 1,00000 è sempre 1) e che, se vengono scritti in forma di frazione, si tratta di una frazione apparente, cioè una frazione che, se viene semplificata, ha al denominatore 1 (esempio: $\frac{12}{4}=\frac{3}{1}=3$).]

3. (A) I numeri interi sono numeri relativi?

[Sì, ma non tutti i numeri relativi sono numeri interi.]

4. (A) Che cosa significa che i numeri interi sono numeri relativi?

[Che sono preceduti dal segno + (interi positivi) o dal segno − (interi negativi). Esempi: −5; +3; −62; +17.]

5. (B) Quali sono i numeri relativi non interi?

[I numeri razionali (cioè i numeri che si possono scrivere sotto forma di frazione) e i numeri irrazionali (cioè i numeri che si possono scrivere come numeri decimali infiniti non periodici).

Esempi di numeri relativi razionali: $+\frac{5}{3}$; $\frac{-1}{2}$; −2,5 (che si può anche scrivere così: $\frac{-5}{2}$); +2,6666666… (che si può anche scrivere così: $+\frac{8}{3}$). Esempi di numeri relativi irrazionali: −3,780675973…; $-\sqrt{2}$ (che equivale a −1,41423…).]

6. (B) Esistono numeri interi che non possono essere scritti con il segno + o con il segno − e quindi che non sono relativi?

[Sì, uno solo: lo 0.]

7. (B) Quali di questi numeri sono numeri interi: −7; $-\sqrt{8}$; +2; $+\frac{5}{6}$; $+\sqrt{3}$; $\frac{-11}{2}$; +3,5; −2,9?

[−7; +2. Gli altri sono numeri relativi ma non interi.]

2. SOTTOINSIEMI DELL’INSIEME ℤ

8. (A) Da quali sottoinsiemi è costituito l’insieme ℤ dei numeri interi relativi?

[Dall’insieme ℤ⁺₀ e dall’insieme ℤ⁻; l’insieme ℤ è l’insieme partizione di ℤ⁺₀ e di ℤ⁻: ℤ = ℤ⁺₀ + ℤ⁻.]

9. (A) Che cos’è l’insieme ℤ⁺₀?

[L’insieme dei numeri interi non negativi, cioè l’insieme dei numeri interi positivi (ℤ⁺) che contiene anche lo 0, che non è né un numero positivo né un numero negativo e infatti non ha nessun segno davanti. Esempi: 0, +1, +2, +3, +4…]

10. (A) Che cos’è l’insieme ℤ⁻?

[L’insieme dei numeri interi negativi. Esempi: −1, −2, −3, −4…]

11. (B) Qual è il rapporto tra l’insieme ℤ dei numeri interi relativi e l’insieme ℕ dei numeri naturali?

[ℕ è un sottoinsieme di ℤ: ℕ ⊆ ℤ.]

12. (B) Perché l’insieme ℕ dei numeri naturali è un sottoinsieme dell’insieme ℤ dei numeri interi relativi?

[Perché ℕ coincide con l’insieme ℤ⁺₀ dei numeri interi non negativi, ovvero l’insieme dei numeri interi relativi positivi che comprendono anche lo zero, che, come abbiamo visto, è un sottoinsieme di ℤ: ℕ ⊆ ℤ perchè ℕ = ℤ⁺₀ e ℤ⁺₀ ⊆ ℤ.]

13. (B) Com’è possibile che l’insieme ℕ dei numeri naturali coincida con l’insieme ℤ⁺₀ dei numeri interi non negativi, se i numeri interi non negativi (a parte lo 0) sono preceduti dal segno + mentre i numeri naturali non sono preceduti da alcun segno?

[Perché il segno + davanti ai numeri positivi può essere omesso (cioè può non essere posto davanti al numero). Esempi: +3 = 3; +12 = 12; + 43 = 43. Attenzione: mentre il segno + davanti ai numeri positivi può essere omesso, il segno − davanti ai numeri negativi è obbligatorio.]