2.5 CALCOLO DI UN TERMINE a_n DI UNA PROGRESSIONE ARITMETICA

1. LA FORMULA

1. (A) Com’è la formula per conoscere qual è l’n–esimo (ennesimo) termine di una progressione aritmetica in cui il primo termine è a₁ e la ragione è d?

[a_n = a₁ + (n − 1)d. Si tratta di un teorema che si può dimostrare.]

2. (B) Qual è la constatazione dalla quale occorre partire per dimostrare che la formula per conoscere qual è l’n–esimo (ennesimo) termine di una progressione aritmetica, in cui il primo termine è a₁ e la ragione è d, è a_n = a₁ + (n − 1)d?

3. (B) Quante sono le uguaglianze del tipo a_n − a_n−1 = d di una progressione aritmetica a_n = a_n−1 + d?

[n − 1; sono uguali al numero dei termini della progressione fino al termine (a_n), meno il primo termine (a₁).]

4. (B) Una volta che abbiamo constatato che nella progressione valgono le seguenti uguaglianze a₂ − a₁ = d, a₃ − a₂ = d, a₄ − a₃ = d … a_n − a_n−1 = d, che cosa dobbiamo fare per dimostrare che vale la formula a_n = a₁ + (n − 1)d?

[Dobbiamo sommare membro a membro le n − 1 uguaglianze: (a₂ − a₁) + (a₃ − a₂) + (a₄ − a₃) + … + (a_n − a_n−1) = (n − 1)d.]

5. (B) Come si fa a passare dalla formula (a₂ − a₁) + (a₃ − a₂) + (a₄ − a₃) + … + (a_n − a_n−1) = (n − 1)d alla formula a_n = a₁ + (n − 1)d? [

2. PROBLEMI RISOLVIBILI CON LA FORMULA a_n = a₁ + (n − 1)d

6. (B) Come si fa a determinare qual è il 12º termine della progressione aritmetica di ragione 5, il cui primo termine è a₁ = 3, applicando la formula a_n = a₁ + (n − 1)d?

[Dobbiamo risolvere la seguente equazione x = 3 + (12 − 1)5. Vediamo i passaggi che portano al risultato finale:

x = 3 + (12 − 1)5

x = 3 + (11)5

x = 3 + 55

x = 58. Quindi il termine $a_{12}$ della progressione aritmetica in esame è 58. Al posto della $x$ avremmo potuto usare direttamente $a_{12}$, dato che l’incognita è il dodicesimo termine della progressione.]

7. (B) Come si fa a determinare la ragione della progressione aritmetica, il cui primo termine è a₁ = 4 e il cui 11º termine è a₁₁ = 64, applicando la formula a_n = a₁ + (n − 1)d?

[Dobbiamo risolvere la seguente equazione 64 = 4 + (11 − 1)x. Vediamo i passaggi che portano al risultato finale:

64 = 4 + (11 − 1)x

64 = 4 + 10x

− 10x = 4 − 64

−10x = −60

10x = 60

$\frac{10}{10}$x = $\frac{60}{10}$

x = 6. Quindi la ragione d della nostra progressione aritmetica è 6. Al posto della $x$ avremmo potuto usare direttamente d, dato che l’incognita è la ragione della progressione.]

8. (B) Come si fa a determinare quanti sono i termini della progressione aritmetica di ragione 7, avente come estremi 6 e 55, applicando la formula a_n = a₁ + (n − 1)d?

[Dobbiamo risolvere la seguente equazione 55 = 6 + (x − 1)7. Vediamo i passaggi che portano al risultato finale:

55 = 6 + (x − 1)7

55 = 6 + 7x − 7

6 + 7x − 7 − 55 = 0

7x − 56 = 0

7x = 56

$\frac{7}{7}$x = $\frac{56}{7}$

x = 8. L’insieme ordinato della progressione in esame è costituito dai seguenti 8 termini: 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55. Al posto della $x$ avremmo potuto usare direttamente $n$, dato che l’incognita è il numero dei termini della progressione.]