3.5 SOTTRAZIONE IN ℤ

1. DIFFERENZA ALGEBRICA

1. (A) Come si ottiene la differenza tra due numeri interi?

[Si ottiene addizionando al primo (minuendo) l’opposto del secondo (sottraendo). In simboli: a − b = a + (−b).

Esempio 1: (+5) − (+3) = +2, infatti dobbiamo addizionare al primo termine (+5) l’opposto del secondo termine (−3, che è l’opposto di +3): (+5) + (−3) = +2.

Esempio 2: (−5) − (+3) = −8 perché è come se fosse (−5) + (−3) = −8.

Esempio 3: (+5) − (−3) = +8 perché è come se fosse (+5) + (+3) = +8.]

2. (C) Qual è la differenza (risultato) della seguente sottrazione: (+17) − (+3)?

[+14.]

3. (C) Qual è la differenza (risultato) della seguente sottrazione: (−17) − (−3)?

[−14.]

4. (C) Qual è la differenza (risultato) della seguente sottrazione: (+17) − (−3)?

[+20.]

5. (A) Che cosa si intende per addizione algebrica?

[Sia un’addizione che una sottrazione tra numeri interi; il risultato in entrambi i casi viene detto “somma algebrica”.]

6. (B) Perché, non solo l’addizione, ma anche la sottrazione tra numeri interi viene detta addizione algebrica e il suo risultato somma algebrica?

[Perché la sottrazione tra numeri interi è riconducibile all’addizione: per ottenere la differenza tra due numeri interi occorre sommare al primo l’opposto del secondo.]

7. (B) Come si può scrivere in maniera semplificata una sottrazione tra numeri interi, come per esempio (+5) − (+3)?

[+5 −3. A questa semplificazione si arriva perché, come abbiamo visto, per risolvere l’operazione (+5) − (+3), si trasforma tale sottrazione nella seguente addizione (+5) + (−3), che, a sua volta, può essere scritta nel seguente modo semplificato: +5 −3.]

2. PROPRIETÀ INVARIANTIVA

8. (A) Di quali proprietà gode la sottrazione tra numeri interi?

[Della proprietà invariantiva (come la sottrazione nell’insieme ℕ dei numeri naturali).]

9. (A) Che cosa afferma la proprietà invariantiva della sottrazione?

[Addizionando o sottraendo al minuendo e al sottraendo uno stesso numero, la differenza (il risultato) non cambia. In simboli: a − b = c è uguale a (a + d) − (b + d) = c oppure a (a − d) − (b − d) = c.

Esempi: (−12) − (−5) = −12 + 5 = −7, se al minuendo −12 e al sottraendo −5 aggiungiamo +2, il risultato non cambia (rimane −7): (−12 + 2) − (−5 + 2) = (−10) − (−3) = −10 +3 = − 7. Anche se al minuendo −12 e al sottraendo −5 sottraiamo +2 il risultato non cambia (rimane −7): (−12 − 2) − (−5 − 2) = (−14) − (−7) = −14 + 7 = −7.]

3. ℤ È CHIUSO RISPETTO ALLA SOTTRAZIONE

10. (A) L’insieme ℤ dei numeri interi è chiuso o aperto rispetto alla sottrazione?

[È chiuso (a differenza della sottrazione nell’insieme ℕ), cioè la differenza di due numeri interi è essa stessa un numero intero. In altri termini, tutte le possibili operazioni di sottrazione tra numeri interi relativi sono interne all’insieme ℤ.

Esempio 1: (+5) − (+3) = +2: sia +5 che +3 che +2 sono numeri interi.

Esempio 2: (−5) − (+3) = −8: sia −5 che +3 che −8 sono numeri interi.

Esempio 3: (+5) − (−3) = +8: sia +5 che −3 che +8 sono numeri interi.

Esempio 4: (−5) − (−3) = −2: sia −5 che −3 che −2 sono numeri interi.]