4.11 EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA (FORMA IMPLICITA)

1. (B) L’equazione y = mx + q permette di rappresentare tutte le rette del piano cartesiano?

[Tutte tranne l’asse y (asse delle ordinate) e le rette parallele all’asse y.]

2. (A) Qual è l’equazione che permette di rappresentare tutte le rette del piano cartesiano (compresa l’asse y e le sue parallele)?

[ax + by + c = 0.]

3. (B) Che tipo di equazione è l’equazione ax + by + c = 0 che rappresenta tutte le rette del piano cartesiano?

[Un’equazione lineare nelle incognite x e y.]

4. (A) Come viene chiamata l’equazione ax + by + c = 0?

[Equazione generale della retta in forma implicita.]

5. (B) Che tipi di numeri sono a, b, c nell’equazione implicita della retta ax + by + c = 0?

[Sono numeri reali e a e b non sono entrambi nulli.]

6. (B) Perché un’equazione della forma ax + by + c = 0, come per esempio 3x − 2y + 5 = 0, rappresenta una retta nel piano cartesiano?

[Perché ammette infinite soluzioni costituite da coppie ordinate di numeri reali, ciascuna coppia individua un punto del piano cartesiano e gli infiniti punti sono tutti allineati, quindi appartengono alla stessa retta.]

7. (A) Come si fa a trasformare l’equazione generale della retta in forma implicita ax + by + c = 0 nella sua equivalente in forma esplicita?

[Basta risolvere l’equazione implicita rispetto a y: ax + by + c = 0 diventa ${\displaystyle y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}}$, purché b ≠ 0. I vari passaggi sono i seguenti: ${\displaystyle ax+by+c=0\to by=-ax-c\to \frac{b}{b}y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\to y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}}$.]

8. (C) Com’è la forma esplicita della seguente equazione di una retta in forma implicita 3x − 2y + 5 = 0?

[${\displaystyle y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}}$.]

9. (B) Nel caso in cui a = 0 (ma b ≠ 0 e c ≠ 0) nell’equazione generale della retta in forma implicita ax + by + c = 0, che equazione si ottiene e com’è la retta da essa rappresentata?

[Si ottiene l’equazione ${\displaystyle y=-\frac{c}{b}=k}$, che rappresenta una retta parallela all’asse x (l’asse delle ascisse) che interseca l’asse y nel punto ${\displaystyle -\frac{c}{b}}$.]

10. (B) Nel caso in cui b = 0 (ma a ≠ 0 e c ≠ 0) nell’equazione generale della retta in forma implicita ax + by + c = 0, che equazione si ottiene e com’è la retta da essa rappresentata?

[Si ottiene l’equazione ${\displaystyle x=-\frac{c}{a}=h}$, che rappresenta una retta parallela all’asse y (l’asse delle ordinate) che interseca l’asse x nel punto ${\displaystyle -\frac{c}{a}}$.]

11. (B) Nel caso in cui c = 0 (ma a ≠ 0 e b ≠ 0) nell’equazione generale della retta in forma implicita ax + by + c = 0, che equazione si ottiene e com’è la retta da essa rappresentata?

[Si ottiene l’equazione ${\displaystyle y=-\frac{a}{b}=mx}$, che rappresenta una retta passante per l’origine degli assi cartesiani.]

12. (B) Abbiamo detto che se a = 0 (ma b ≠ 0 e c ≠ 0) l’equazione generale della retta in forma implicita ax + by + c = 0 diventa ${\displaystyle y=-\frac{c}{b}=k}$, che rappresenta una retta parallela all’asse x; che cosa succede se anche c = 0?

[La retta coincide con l’asse delle ascisse.]