4.12 POSIZIONE RECIPROCA DI DUE RETTE CON SISTEMI LINEARI

1. (A) Quali posizioni reciproche possono assumere due rette r e s su un piano?

2. (A) Da un punto di vista analitico (di geometria analitica) come si stabilisce la posizione reciproca di due rette r e s?

[Risolvendo il sistema lineare composto dalle equazioni delle due rette. Posto che la retta r sia di equazione ax + by + c = 0 e che la retta s sia di equazione a′x + b′y + c′ = 0, per sapere se le due rette sono incidenti, parallele o coincidenti occorre risolvere il sistema lineare: ${\displaystyle \{\begin{array}{c}ax+by+c=0\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\end{array}}$.]

3. (A) Dato il sistema lineare ${\displaystyle \{\begin{array}{c}ax+by+c=0\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\end{array}}$ composto dalle equazioni di due rette, r e s, in quali casi le due rette sono, rispettivamente: incidenti, parallele distinte, coincidenti?

[Sono incidenti quando il sistema è determinato; parallele distinte quando il sistema è impossibile; coincidenti quando il sistema è indeterminato.]

4. (B) Perché quando due rette r e s sono incidenti il sistema lineare composto dalle equazioni delle due rette è determinato?

[Se il sistema è determinato ha un’unica soluzione e tale soluzione ci dà le coordinate dell’unico punto in cui le due rette si intersecano. Esempio: vogliamo sapere se la retta r di equazione y = x − 1 e la retta s di equazione y = −2x + 5 sono incidenti, parallele o coincidenti, e nel caso in cui siano incidenti quale sia il punto in cui si intersecano. Per questo dobbiamo risolvere il sistema ${\displaystyle \{\begin{array}{c}y=x-1\\ y=-2x+5\end{array}}$. Adottiamo il metodo del confronto: x − 1 = −2x + 5 e risolvendo questa equazione scopriamo che x = 2 (i passaggi sono i seguenti: x − 1 = −2x + 5 → x + 2x = +1 + 5 → 3x = +6 → ${\displaystyle x=+\frac{6}{3}}$ → x = 2). Quindi, sostituendo 2 a x nell’equazione y = x − 1 abbiamo y = 1 (allo stesso risultato naturalmente si arriva anche sostituendo 2 a x nell’equazione y = −2x + 5). In sostanza, la soluzione del sistema in esame è (2, 1) che è esattamente la coppia ordinata che costituisce le coordinate (x, y) dell’unico punto di intersezione delle due rette in esame.]

5. (A) Quand’è che il sistema che contiene le due equazioni di due rette è impossibile e le due rette sono parallele?

[Quando le due rette hanno lo stesso coefficiente angolare. Esempio: vogliamo sapere in che rapporto sono la retta r di equazione 4x + y − 5 = 0 e la retta s di equazione 4x + y + 3 = 0. Per questo dobbiamo risolvere il sistema ${\displaystyle \{\begin{array}{c}4x+y-5=0\\ 4x+y+3=0\end{array}}$. Dal sistema iniziale passiamo a ${\displaystyle \{\begin{array}{c}y=-4x+5\\ y=-4x-3\end{array}}$. Quindi adottiamo il metodo del confronto: −4x + 5 = −4x − 3 → −4x + 5 = −4x − 3 → +5 = −3 → 0 = −5 − 3 → 0 = −8. Poiché la soluzione è palesemente falsa (0 non è uguale a −8), il sistema è impossibile e le due rette sono parallele. A questa conclusione si poteva giungere anche semplicemente constatando che il coefficiente ${\displaystyle m=-\frac{a}{b}}$ delle due rette è lo stesso (4): ${\displaystyle m=-\frac{4}{1}}$.]

6. (A) Com’è il sistema contenente le equazioni di due rette quando esse sono coincidenti?

[È indeterminato, cioè ha infinite soluzioni che sono le coppie costituite dalle coordinate dei punti delle rette. Esempio: risolviamo il sistema costituito dalle equazioni della retta r e della retta s: ${\displaystyle \{\begin{array}{c}-2x+y-3=0\\ -4x+2y-6=0\end{array}}$. Dal sistema iniziale passiamo a ${\displaystyle \{\begin{array}{c}y=2x+3\\ 2y=4x+6\end{array}}$ e quindi a ${\displaystyle \{\begin{array}{c}y=2x+3\\ y=\frac{4}{2}x+\frac{6}{3}\end{array}}$ che, semplificando, diventa ${\displaystyle \{\begin{array}{c}y=2x+3\\ y=2x+3\end{array}}$. Con il sistema del confronto abbiamo 2x + 3 = 2x + 3. È evidente che per qualsiasi valore sostituiamo a x l’uguaglianza è sempre vera.]