4.12 NUMERI IRRAZIONALI

1. NUMERI IRRAZIONALI: CARATTERI GENERALI

1. (A) Che cos’è un numero irrazionale?

[Un numero che non è esprimibile tramite una frazione, cioè nella forma $\frac{a}{b}$ (a differenza dei numeri razionali).]

2. (A) I numeri irrazionali sono numeri interi o numeri decimali?

[Sono numeri decimali infiniti non periodici, cioè sono numeri che presentano infinite cifre decimali che non si susseguono ciclicamente in modo identico. Esempio: 3,52982477318… (i puntini indicano che ci sono altre infinite cifre).]

3. (A) Quali sono alcuni tipi di numeri irrazionali? [

4. (B) I numeri irrazionali sono relativi o assoluti?

[Sono relativi, cioè sono contrassegnati dal segno + o dal segno − (quando il segno manca, significa che il segno + è sottointeso). Si possono rappresentare su una retta orientata da sinistra verso destra con “origine” nel punto 0: gli irrazionali negativi stanno a sinistra di 0; gli irrazionali positivi stanno a destra di 0.]

5. (A) Qual è il simbolo dell’insieme dei numeri irrazionali?

[𝕀.]

6. (C) Che relazione c’è tra numeri primi e numeri irrazionali?

[La radice quadrata di un numero primo è sempre un numero irrazionale, ma (attenzione!) non tutti i numeri irrazionali sono radici quadrate di numeri primi).]

2. IL NUMERO IRRAZIONALE $\sqrt{2}$

7. (B) Qual è il valore approssimato del numero irrazionale $\sqrt{2}$?

[1,414.]

8. (C) Come si fa a dimostrare che $\sqrt{2}$ è irrazionale?

[Se per assurdo $\sqrt{2}$ fosse razionale, esisterebbero due numeri naturali a e b, per ipotesi primi tra loro, tali per cui $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$, e quindi $\frac{a^2}{b^2}=2$, ma allora a² e b² non sarebbero primi tra loro (infatti a² sarebbe divisibile per b² con risultato 2) e neppure a e b, ma questo sarebbe in contraddizione con l’ipotesi di partenza. Chiariamo alcuni punti. Primo punto: se a e b non fossero primi tra loro, per renderli tali basterebbe ridurre $\frac{a}{b}$ ai minimi termini. Secondo punto: se a e b non sono primi tra loro allora non lo sono neppure a² e b² e viceversa perché se scomponiamo a e b in fattori primi, ci accorgiamo che a² e b² hanno gli stessi fattori primi con esponente raddoppiato (esempio: i fattori primi di 12 sono 2² e 3 mentre i fattori primi di 12² sono 2⁴ e 3²). Terzo punto: il denominatore b² della frazione $\frac{a^2}{b^2}$ non può essere uguale a 1 perché b non può essere uguale a 1; b non può essere uguale a 1 perché $\sqrt{2}$ deve essere compresa tra 1 e 2. Il motivo per cui $\sqrt{2}$ deve essere compresa tra 1 e 2 e è questo: poiché 1² = 1 < 2 < 4 = 2², il numero il cui quadrato è 2 deve essere compreso tra 1 e 2; quindi 1 < $\sqrt{2}$ < 2.]

9. (B) Come può essere rappresentato geometricamente il numero irrazionale $\sqrt{2}$?

[Come la diagonale di un quadrato il cui lato misura 1 oppure come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele i cui cateti misurano 1 ciascuno.]

10. (C) Perché la diagonale (d) di un quadrato il cui lato misura 1 è $\sqrt{2}$?

[Perché tale diagonale è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele i cui cateti misurano 1 ciascuno, quindi, per il teorema di Pitagora, d² = 1² + 1² = 2 e pertanto d = $\sqrt{2}$. Tale numero viene preso come esempio paradigmatico di numero irrazionale.]

11. (C) Come possiamo rappresentare $\sqrt{2}$ su una retta orientata?

[Disegniamo un quadrato che abbia un lato con gli estremi 0 e 1; con un compasso riportiamo sulla retta la lunghezza della sua diagonale; il punto ottenuto corrisponde a $\sqrt{2}$, e quindi è un punto sulla retta che non corrisponde ad un numero razionale. Invece del quadrato di lato 1, potevamo disegnare un triangolo rettangolo isoscele con ciascuno dei cateti di lato 1.]