4.13 NUMERI REALI
1. (A) Che cos’è un numero reale?
[Ogni numero razionale o irrazionale.]
2. (A) Come si indica l’insieme dei numeri reali?
[Con ℝ.]
3. (A) I numeri reali sono relativi o assoluti?
[Relativi: l’insieme ℝ dei numeri reali è costituito da ℝ+, l’insieme dei numeri reali positivi e da ℝ−, l’insieme dei numeri reali negativi, oltre che dallo zero (che però non è relativo).]
4. (A) Che proprietà ha l’insieme ℝ dei numeri reali?
[È infinito, ordinato, denso, completo.]
5. (B) Che cosa significa che l’insieme dei numeri reali è ordinato?
[Che dati due numeri reali qualsiasi (diversi tra loro), è sempre possibile stabilire quale dei due sia il maggiore.]
6. (B) Che cosa significa che l’insieme dei numeri reali è denso?
[Che tra due numeri reali distinti ne esistono infiniti altri.]
7. (A) Che cosa significa che l’insieme dei numeri reali è completo?
[Che, se rappresentiamo i numerali su una retta, ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta e ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale. Tra i numeri reali e i punti della retta c’è una corrispondenza biunivoca.]
8. (B) Quale o quali delle quattro proprietà dell’insieme ℝ dei numeri reali (infinito, ordinato, denso, completo) non è goduta dall’insieme ℚ dei numeri razionali?
[ℚ non gode della proprietà di essere completo. L’insieme dei numeri razionali è infinito, ordinato, denso, ma non è completo: ad ogni numero razionale corrisponde un punto sulla retta, ma non è vero che ad ogni punto sulla retta corrisponde un numero razionale. Se collochiamo tutti i numeri razionali su una retta restano dei “buchi”.]
9. (B) Da quali numeri reali vengono “riempiti i buchi” lasciati su una retta dai numeri razionali?
[Dai numeri irrazionali (che, insieme ai numeri razionali, costituiscono i numeri reali).]
10. (A) In che rapporto sono l’insieme ℝ dei numeri reali, l’insieme ℚ dei numeri razionali, l’insieme 𝕀 dei numeri irrazionali?
[L’insieme ℚ dei numeri razionali e l’insieme 𝕀 dei numeri irrazionali non hanno elementi in comune e sono entrambi sottoinsiemi dell’insieme ℝ dei numeri reali, che quindi è l’unione di ℚ e di 𝕀. L’insieme ℚ dei numeri razionali, a sua volta, ha come suo sottoinsieme l’insieme ℤ dei numeri interi che, a sua volta, ha come sottoinsieme l’insieme ℕ dei numeri naturali.]
