4.14 APPROSSIMAZIONI E ERRORI ASSOLUTI E RELATIVI

1. APPROSSIMAZIONE, TRONCAMENTO, ARROTONDAMENTO

1. (A) Che cosa significa approssimare un numero decimale?

[Ricorrere a un numero che lo rappresenta ma contiene un minor numero di cifre. Esempio: per riferirci a π (pi greco) che è un numero con infinite cifre (3,1415926536…), di solito usiamo la sua approssimazione 3,14. Attenzione: si può approssimare sia un numero decimale finito che un numero decimale infinito.]

2. (A) Che differenza c’è tra approssimazione per eccesso e approssimazione per difetto?

[L’approssimazione per eccesso è quella in cui il numero approssimato viene rappresentato da un numero maggiore; l’approssimazione per difetto è quella in cui il numero approssimato viene rappresentato da un numero inferiore. Esempio: se il numero decimale in questione è 3,4537478608, una approssimazione per eccesso è 3,46, perché 3,46 è maggiore di 3,4537478608; mentre una approssimazione per difetto è 3,45, perché 3,45 è minore di 3,4537478608.]

3. (A) Come si realizzano, rispettivamente, l’approssimazione per eccesso e l’approssimazione per difetto?

[L’approssimazione per eccesso si realizza aumentando di uno l’ultima cifra che si vuole mantenere e eliminando le cifre seguenti; l’approssimazione per difetto si realizza scrivendo il numero fino all’ultima cifra che si vuole mantenere e eliminando le cifre seguenti. Esempio di approssimazione per eccesso: se il numero decimale in questione è 3,4537478608, e si vogliono mantenere i centesimi, il numero approssimato per eccesso è 3,46 perché 5 + 1 = 6. Esempio di approssimazione per difetto: se il numero decimale in questione è 3,4537478608, e si vogliono mantenere i centesimi, il numero approssimato per difetto sarà 3,45.]

4. (B) Come viene anche detta l’approssimazione per difetto?

[Troncamento.]

5. (C) Qual è il troncamento ai decimi del numero decimale 73,4718?

[73,4.]

6. (A) Che cos’è l’arrotondamento di un numero decimale?

7. (C) Qual è l’arrotondamento del numero decimale 3,4658?

[L’arrotondamento alle unità è 3 (perché 4 < 5); l’arrotondamento ai decimi è 3,5 (perché 6 > 5); l’arrotondamento ai centesimi è 3,47 (perché 5 = 5); l’arrotondamento ai millesimi è 3,466 (perché 8 > 5).]

2. ERRORE ASSOLUTO

8. (A) Se q è un numero razionale e a un suo valore approssimato, che cos’è l’errore assoluto E?

[È il valore assoluto della differenza tra q e a; in simboli: $E=|q-a|$. Esempio 1: dato il numero 5,6745 e la sua approssimazione per difetto 5,67, l’errore assoluto è 0,0045 che si ottiene così: $E=|\mathrm{5,6745}-\mathrm{5,67}|=\mathrm{0,0045}$. Esempio 2: dato il numero 5,6745 (lo stesso dell’esempio precedente) e la sua approssimazione per eccesso ai centesimi 5,68, l’errore assoluto è 0,0055 che si ottiene così: $E=|\mathrm{5,6745}-\mathrm{5,68}|=|-\mathrm{0,0055}|=\mathrm{0,0055}$.]

9. (C) Dati il numero 6,0583 e il suo valore approssimato per difetto ai centesimi 6,05, qual è l’errore assoluto E?

[E = 0,0083, che si ottiene così: $E=|\mathrm{6,0583}-\mathrm{6,05}|=\left|\mathrm{0,0083}\right|=\mathrm{0,0083}$.]

10. (C) Dati il numero 6,0583 e il suo valore approssimato per eccesso ai centesimi 6,06, qual è l’errore assoluto E?

[E = 0,0017, che si ottiene così: $E=|\mathrm{6,0583}-\mathrm{6,06}|=|-\mathrm{0,0017}|=\mathrm{0,0017}$.]

11. (B) Dati un numero decimale periodico e una sua approssimazione, come si fa calcolare l’errore assoluto?

[Bisogna fare la differenza assoluta tra le frazioni generatrici di entrambi i numeri. Infatti, poiché un numero decimale periodico ha infinite cifre, se non ricorressimo alle frazioni generatrici, non sarebbe possibile calcolare la differenza tra tale numero e la sua approssimazione. Esempio: dato il numero decimale periodico $0,\overline{3}$ e la sua approssimazione 0,4, poiché la frazione generatrice di $0,\overline{3}$ è $\frac{1}{3}$ (che si ottiene così: $0,\overline{3}$ = $\frac{03-0}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$) e la frazione generatrice di 0,4 è $\frac{2}{5}$ (che si ottiene semplificando $\frac{4}{10}$), il valore dell’errore assoluto è $\frac{1}{15}$ e si ottiene così: $E=|\frac{1}{3}-\frac{2}{5}|=\left|\frac{5-6}{15}\right|=|-\frac{1}{15}|=\frac{1}{15}$.]

12. (C) Dati il numero decimale periodico $2,\overline{6}$ e il suo valore approssimato per eccesso ai decimi 2,7, qual è l’errore assoluto E?

[E = $\frac{1}{30}$. Vediamo i passaggi. La frazione generatrice di $2,\overline{6}$ è $\frac{8}{3}$, che si ottiene così: $2,\overline{6}$ = $\frac{26-2}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$. La frazione generatrice di 2,7, è $\frac{27}{10}$. Quindi $E=|\frac{8}{3}-\frac{27}{10}|=\left|\frac{80-81}{30}\right|=|-\frac{1}{30}|=\frac{1}{30}$.]

3. ERRORE RELATIVO

13. (A) Se q è un numero razionale e a un suo valore approssimato, che cos’è l’errore relativo e?

[È il rapporto tra l’errore assoluto E e il valore assoluto di a; in simboli: $e=\frac{E}{\left|a\right|}$. Esempio: dato il numero 5,6745 e la sua approssimazione per difetto 5,67, poiché l’errore assoluto è 0,0045, l’errore relativo è 0,0007936508 che si ottiene così: $e=\frac{\left|\mathrm{0,0045}\right|}{\left|\mathrm{5,67}\right|}=\mathrm{0,0007936508}$.]

14. (C) Dati il numero decimale periodico 1837,23 e il suo valore approssimato 1837,2, come si calcola l’errore relativo e?

[$e=\frac{E}{\left|\mathrm{1837,2}\right|}=\frac{|\mathrm{1837,23}-\mathrm{1837,2}|}{\left|\mathrm{1837,2}\right|}=\frac{\left|\mathrm{0,03}\right|}{\left|\mathrm{1837,2}\right|}=\mathrm{0,0000163291}$ che possiamo approssimare a 0,000017.]

15. (B) Se vogliamo sapere quanto il valore approssimato a di un numero q si discosta da q, ricaviamo un’informazione più precisa dal valore dell’errore assoluto o dal valore dell’errore relativo?

[Dal valore dell’errore relativo, infatti due approssimazioni possono avere lo stesso errore assoluto, ma, se una è costituita da più cifre rispetto all’altra, è sicuramente un’approssimazione più precisa. Esempio: dato il numero 1837,23 e il suo valore approssimato 1837,2, l’errore assoluto è 0,03. Lo stesso errore assoluto, 0,03, è quello della approssimazione 7,2 rispetto al numero 7,23, ma in questo secondo caso l’approssimazione è meno precisa perché il numero di partenza si ferma alle unità, mentre l’altro arriva alle migliaia. Per rendersene conto, conviene allora calcolare l’errore relativo anche di 7,2 rispetto a 7,23 (come abbiamo fatto nella domanda precedente per 1837,2 rispetto a 1837,23). Ecco i passaggi: $e=\frac{E}{\left|\mathrm{7,2}\right|}=\frac{|\mathrm{7,23}-\mathrm{7,2}|}{\left|\mathrm{7,2}\right|}=\frac{\left|\mathrm{0,03}\right|}{\left|\mathrm{7,2}\right|}=\mathrm{0,004166667}$ che possiamo approssimare a 0,0042. Poiché 0,000017 (errore relativo di 1837,2) è molto più piccolo di 0,0042 (errore relativo di 7,2), è evidente che l’errore assoluto 0,03 è relativamente molto più piccolo su un numero come 1837,2 che su un numero come 7,2.]