4.15 FASCIO PROPRIO

1. (A) Che cos’è un fascio proprio di rette per P secondo la geometria euclidea?

[È l’insieme di tutte le rette del piano che passano per un punto P.]

2. (B) Come si chiama il punto P per cui passano tutte le rette di un fascio proprio?

[Centro (o sostegno) del fascio.]

3. (A) Qual è l’equazione generale che descrive il fascio di rette di centro P di coordinate (x′, y′)?

[y − y′ = m(x − x′), con m ∈ ℝ.]

4. (B) Prendendo come esempio il fascio di rette di centro P(2, 5), qual è il primo passo per arrivare a capire che l’equazione del fascio è y − y′ = m(x − x′)?

[Nella generica equazione esplicita di una retta (y = mx + q) bisogna sostituire 5 a y e 2 a x: 5 = 2m + q. Abbiamo ottenuto l’equazione esplicita di una retta passante per P(2, 5).]

5. (B) Una volta che abbiamo stabilito che una retta passante per P(2, 5) è di equazione 5 = m2 + q, c’è un modo per determinare meglio tale equazione?

[Sì, possiamo definire q nei termini degli altri elementi in gioco: −q = −5 + m2 → q = 5 − 2m, e sostituire tale espressione nell’equazione generica (y = mx + q): y = mx + 5 − 2m, che è l’equazione in forma esplicita di una retta del fascio di P(2, 5).]

6. (B) Come è opportuno riscrivere l’equazione y = mx + 5 − 2m di una retta del fascio di P(2, 5)?

[y − 5 = m(x − 2) in modo da mettere in evidenza le coordinate (2, 5) del centro P del fascio.]

7. (B) In che cosa si differenziano le infinite rette del fascio di centro P(2, 5) di equazione y − 5 = m(x − 2)?

[Nel coefficiente angolare m: per ogni diverso valore reale che attribuiamo a m, otteniamo una retta del fascio diversa da tutte le infinite altre.]

8. (B) Tutte le rette del fascio di centro P(2, 5) soddisfano l’equazione y − 5 = m(x − 2)?

[Tutte tranne la retta parallela all’asse y.]

9. (B) Qual è l’equazione della retta del fascio di centro P(2, 5) parallela all’asse y?

[x = 2.]

10. (A) In generale, da che cosa è descritto il fascio completo di centro P(x′, y′)?

[Dalle due equazioni:

1. y − y′ = m(x − x′), con m ∈ R;
2. x = x′.

L’equazione x = x′ è quella della retta di centro P(x′, y′) parallela all’asse y; l’equazione y − y′ = m(x − x′) è quella di tutte le altre le rette di centro P(x′, y′).]