4.16 COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

1. (A) Come si può determinare l’equazione di una retta?

[Basta conoscere due condizioni:

1. o le coordinate di un punto appartenente alla retta e il coefficiente angolare della retta stessa;
2. o le coordinate di due punti appartenenti alla retta.]

1. RETTA PASSANTE PER UN PUNTO

2. (A) Qual è l’equazione di una retta passante per il punto A(x_A, y_A) con coefficiente angolare m₀?

[y − y_A = m₀(x − x_A). Esempio: la retta di coefficiente angolare 2 passante per il punto A(4; 5) ha equazione y = 2x − 3; a tale equazione si giunge applicando la formula: y − y_A = m₀(x − x_A). Vediamo i passaggi: y − 5 = 2(x − 4) → y = 2x − 8 + 5 → y = 2x − 3.]

3. (B) Come si arriva a stabilire che l’equazione di una retta passante per il punto A(x_A, y_A) con coefficiente angolare m₀ è y − y_A = m₀(x − x_A)?

[Partendo dall’equazione che ci permette di ricavare il coefficiente angolare di una retta conoscendo le coordinate di due punti di essa: ${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$. Ecco i passaggi: ${\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x}\to \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=m\to (x_2-x_1)\cdot \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=m(x_2-x_1)\to y_2-y_1=m(x_2-x_1)}$ (vedi capitolo “Coefficiente angolare della retta passante per due punti”).]

4. (B) Qual è l’equazione della retta passante per il punto A(−2, 4) e con coefficiente angolare −3?

[y = −3x − 2. Abbiamo applicato l’equazione generale y − y_A = m₀(x − x_A). I vari passaggi sono i seguenti: y − 4 = −3(x − (−2)) → y − 4 = −3(x + 2) → y = −3x − 6 + 4 → y = −3x − 2.]

2. RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

5. (A) Qual è l’equazione di una retta passante per due punti generici A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂)?

[${\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}}$. Esempio: per conoscere l’equazione della retta passante per i punti A(3, 2) e B(4, 3) applichiamo la formula ${\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}}$ e otteniamo: y = x − 1. Ecco i passaggi sono i seguenti: ${\displaystyle \frac{y-2}{3-2}=\frac{x-3}{4-3}\to \frac{y-2}{1}=\frac{x-3}{1}\to y-2=x-3\to y=x-3+2\to y=x-1}$.]

6. (B) Qual è l’equazione della retta passante per i punti A(−5, 3) e B(2, −7)?

[${\displaystyle y=-\frac{10}{7}x-\frac{29}{7}}$. Per arrivare a questo risultato abbiamo applicato l’equazione ${\displaystyle \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}}$. I passaggi sono i seguenti: ${\displaystyle \frac{y-3}{-7-3}=\frac{x-(-5)}{2-(-5)}\to \frac{y-3}{-10}=\frac{x+5}{2+5}}$
${\displaystyle \frac{y-3}{-10}=\frac{x+5}{7}\to -10\cdot \frac{y-3}{-10}=\frac{x+5}{7}\cdot (-10)\to y-3=\frac{-10x}{7}+\frac{-50}{7}}$
${\displaystyle y=-\frac{10}{7}x+\frac{-50}{7}+3\to y=-\frac{10}{7}x+\frac{-50+21}{7}\to y=-\frac{10}{7}x-\frac{29}{7}}$.]