4.18 DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA

1. (A) Che cos’è la distanza di un punto P da una retta r?

[Se tracciamo dal punto P la perpendicolare a r che interseca r nel punto H, la distanza di P da r è la misura del segmento di perpendicolare PH. In generale, in geometria, la distanza tra due oggetti è il percorso minimo che li separa.]

2. (A) Qual è la formula per calcolare la distanza d del punto P(x₀, y₀) dalla retta di equazione ax + by + c = 0?

[${\displaystyle d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$. Questa formula si dimostra con strumenti di geometria analitica più avanzati.]

3. (B) Qual è la formula per calcolare la distanza d del punto P(6, 5) dalla retta di equazione 3x + 4y − 23 = 0?

[${\displaystyle d=\frac{|3\cdot 6+4\cdot 5-23|}{\sqrt{3^2+4^2}}}$. Ecco i passaggi che portano al risultato finale: ${\displaystyle d=\frac{|3\cdot 6+4\cdot 5-23|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|18+20-23|}{\sqrt{9+16}}=\frac{15}{\sqrt{25}}=\frac{15}{5}=3}$.]

4. (B) Perché nella formula della distanza d del punto P(x₀, y₀) dalla retta di equazione ax + by + c = 0 compare il valore assoluto?

[Perché una distanza non può mai essere negativa. Esempio: vogliamo calcolare la distanza del punto P(1,1) dalla retta di equazione 3x + 4y − 20 = 0. Applichiamo la formula ${\displaystyle d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$. Nel nostro caso abbiamo a = 3; b = 4; c = −20; x₀ = 1; y₀ = 1. Sostituendo questi valori nella formula otteniamo: ${\displaystyle d=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 1-20|}{\sqrt{3^2+4^2}}}$. Calcoliamo il numeratore: ${\displaystyle 3\cdot 1+4\cdot 1-20=3+4-20=-13}$. Poiché nella formula compare il valore assoluto: ${\displaystyle |-13|=13}$. Calcoliamo ora il denominatore: ${\displaystyle \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5}$. Dunque la distanza del punto P(1,1) dalla retta 3x + 4y − 20 = 0 è ${\displaystyle d=\frac{13}{5}}$. Senza il valore assoluto avremmo ottenuto ${\displaystyle d=-\frac{13}{5}}$, che è impossibile, perché una distanza non può essere negativa.]