5.3 SOTTOINSIEMI E INSIEME DELLE PARTI
1. SOTTOINSIEMI
1. (A) Che cos’è un sottoinsieme?
[Dati due insiemi A e B, B è un sottoinsieme di A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A.
Esempio: l’insieme delle lettere che formano la parola “cane” è un sottoinsieme dell’insieme delle lettere che formano la parola “cantare”. In inglese “sottoinsieme” è subset.]
2. (B) Invece di dire “B è un sottoinsieme di A”, come si può altrimenti dire?
[“B è contenuto in A” oppure “B è incluso in A”.]
3. (A) Qual è il simbolo che si usa per indicare che un insieme è un sottoinsieme di un altro?
[⊆.
Esempio: per scrivere che B è un sottoinsieme di A, si usa questa notazione: B ⊆ A.]
4. (A) Com’è detto il simbolo ⊆ che si usa per indicare che un insieme è un sottoinsieme di un altro?
[Simbolo di inclusione. B ⊆ A significa che l’insieme B è incluso nell’insieme A.]
5. (A) Che cosa significa A ⊇ B?
[L’insieme A include l’insieme B.
Attenzione:
Non confondere il simbolo ⊇ con il simbolo ⊆: B ⊆ A significa che l’insieme B è incluso nell’insieme A; A ⊇ B significa che l’insieme A include l’insieme B.]
6. (B) Qual è il simbolo per indicare che un insieme non è incluso in un altro (non è sottoinsieme di un altro)?
[⊈ (che è il simbolo dell’inclusione barrato).]
7. (B) Come viene rappresentato un sottoinsieme con un diagramma di Venn?
2. SOTTOINSIEMI PROPRI E IMPROPRI
8. (A) I sottoinsiemi si dividono in sottoinsiemi propri e sottoinsiemi impropri, qual è la differenza?
[I sottoinsiemi impropri di A sono l’insieme vuoto e l’insieme A stesso; tutti gli altri sottoinsiemi di A sono sottoinsiemi propri.
Esempio: i sottoinsiemi impropri dell’insieme C delle lettere della parola “cane” sono C = {c, a, n, e} e ø; i sottoinsiemi propri sono {c}, {a}, {n}, {e}, {c, a}, {c, n}, {c, e}, {a, n}, {a, e}, {n, e}, {c, a, n}, {c, a, e}, {c, n, e}, {a, n, e}.]
9. (C) Dato l’insieme A = {1, 2, 3}, quale dei seguenti insiemi è un suo insieme improprio: B = ∅, C = {1, 2}, D = {1, 2, 3}?
[B e D. B perché è l’insieme vuoto; D perché tutti gli elementi di D appartengono ad A e tutti gli elementi di A appartengono a D.]
3. INCLUSIONE STRETTA
10. (B) Cosa vuol dire che l’insieme B è incluso strettamente nell’insieme A (oppure “è contenuto strettamente”)?
[Vuol dire che ogni elemento di B è anche un elemento di A, ma esiste almeno un elemento di A che non è un elemento di B.
Esempio 1: l’insieme dei quadrati è incluso strettamente nell’insieme dei quadrilateri, perché tutti i quadrati sono quadrilateri, ma non tutti i quadrilateri sono quadrati.
Esempio 2: l’insieme degli erbivori è incluso strettamente nell’insieme degli animali, perché tutti gli erbivori sono animali, ma non tutti gli animali sono erbivori.]
11. (B) Che differenza c’è, nella teoria degli insiemi, tra dire che B è incluso in A e dire che B è incluso strettamente in A?
[Dicendo che B è incluso in A, si ammette la possibilità che B, come sottoinsieme di A, possa essere A stesso, mentre, dicendo che B è incluso strettamente in A, si esclude questa possibilità.]
12. (B) Qual è il simbolo dell’inclusione stretta?
[⸦. Il simbolo che indica che tra due insiemi non c’è inclusione stretta è ⊄.]
13. (C) L’insieme vuoto è semplicemente incluso o è incluso strettamente in un insieme A qualsiasi?
[È incluso in qualsiasi insieme A, ma non è incluso strettamente in nessun insieme A.]
4. QUANTI SONO I SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME
14. (B) Quanti sono tutti i possibili sottoinsiemi (propri e impropri) di un insieme finito avente n elementi?
[2n, intendendo per n il numero di elementi dell’insieme.
Esempio: il numero di sottoinsiemi dell’insieme A = {a, b, c} è 23, cioè 8: sei insiemi propri: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, più i due insiemi impropri: {a, b, c}, ø.]
15. (C) Quanti e quali sono i possibili sottoinsiemi dell’insieme A = {a}?
[2: {a}, ø. Il risultato si può ottenere elevando 2 ad 1, dato che all’insieme A appartiene un unico elemento: 21 = 2.]
16. (C) Quanti sono i possibili sottoinsiemi dell’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}?
[64, ovvero 26.]
5. INSIEME DELLE PARTI
17. (A) Che cosa si intende per insieme delle parti di un insieme A?
[L’insieme di tutti i sottoinsiemi di A.
Esempio: dato l’insieme A = {a, b}, l’insieme delle parti di A è costituito dai seguenti quattro sottoinsiemi: {a}, {b}, {a, b}, ø.]
18. (B) Come si indica, in simboli, l’insieme delle parti di A?
[Con P(A).]
19. (C) Qual è l’insieme delle parti di A = {1, 2, 3}?
[P(A) = {ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.]